Analysis Beispiele

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ und $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $\sec (\frac{π x}{4})$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $\sec (\frac{π x}{4})$ gleich $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.3.3

Setze $\tan (\frac{π x}{4})$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $\tan (\frac{π x}{4})$ gleich $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Schritt 2.3.3.2.3

Setze den Zähler gleich Null.

$π x = 0$

Schritt 2.3.3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3.2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Schritt 2.3.3.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Schritt 2.3.3.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.6.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

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Schritt 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Addiere $π$ und $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Schritt 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} π$

Schritt 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4$

Schritt 2.3.3.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{π x}{4})$ .

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Schritt 2.3.3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.3.3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 2.3.3.2.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 2.3.3.2.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.3.2.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 2.3.3.2.7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4$

Schritt 2.3.3.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{π x}{4})$ ist $4$ , d. h., Werte werden sich alle $4$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ wahr machen.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 4 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (\frac{π x}{4})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $π n$ heraus.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Schritt 3.2.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 3.2.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 + 4 n$

Schritt 3.2.3

Stelle $2$ und $4 n$ um.

$x = 4 n + 2$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Werte $\sec (\frac{π x}{4})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $π (0)$ heraus.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Dividiere $π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\sec (0)$

Schritt 4.1.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\sec (π)$

Schritt 4.2.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \sec (0)$

Schritt 4.2.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5