Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{8 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{8 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{8 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{8 y} = x$ um.

$\sqrt{8 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 y}$ als ${(8 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 y = x^{2}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{8 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{8 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{{(\sqrt{8 x})}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $8 x$ als $2^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{{\sqrt{4 (2) x}}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{{\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3

Füge Klammern hinzu.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{{\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{{(2 \sqrt{2 x})}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2 x}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{2^{2} {\sqrt{2 x}}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 {\sqrt{2 x}}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 5.2.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 (2 x)}{8}$

Schritt 5.2.3.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{4 (2 x)}{8}$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8})}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{2}}{8}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8}) = \sqrt{\frac{8 x^{2}}{8}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 x^{2}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{8}) = \sqrt{\frac{8 x^{2}}{8}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{8}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8}$