Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ als Gleichung.

$y = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5 y^{3} - 11}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 y^{3} - 11}{9} = x$ um.

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{3} - 11}{9} \cdot 9 = x \cdot 9$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 y^{3} - 11 = x \cdot 9$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 y^{3} - 11 = 9 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{3} = 9 x + 11$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = 9 x + 11$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = 9 x + 11$ durch $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{9 x}{5} + \frac{11}{5}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{9 x + 11}{5}}$

Schritt 3.4.4.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{9 x + 11}{5}}$ als $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{9 x + 11}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Schritt 3.4.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ als $5$ um.

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Schritt 3.4.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Schritt 3.4.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Schritt 3.4.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{5^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Schritt 3.4.4.5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 x + 11} \sqrt[3]{25}}{5}$

Schritt 3.4.4.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(9 x + 11) \cdot 25}}{5}$

Schritt 3.4.4.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(9 x + 11) \cdot 25}}{5}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) + 11)}}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) + 11)}}{5}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} - 11 + 11)}}{5}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $- 11$ und $11$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $5 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x^{3} - 11}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}$ als ${(25 (9 x + 11))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(25 (9 x + 11))}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(25 (9 x) + 25 \cdot 11)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $25$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(225 x + 25 \cdot 11)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $11$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 {(\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{({(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(225 x + 275)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{{(225 x + 275)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{225 x + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.2

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{225 x + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.3

Faktorisiere $25$ aus $225 x + 275$ heraus.

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Schritt 5.3.3.4.3.1

Faktorisiere $25$ aus $225 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x) + 275}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.3.2

Faktorisiere $25$ aus $275$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x) + 25 (11)}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.4.3.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (9 x) + 25 (11)$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5^{3}}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{125}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5 (25)}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{5 (\frac{25 (9 x + 11)}{5 \cdot 25}) - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{\frac{25 (9 x + 11)}{25} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{\frac{25 (9 x + 11)}{25} - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.7.2

Dividiere $9 x + 11$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x + 11 - 11}{9}$

Schritt 5.3.3.8

Subtrahiere $11$ von $11$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Schritt 5.3.3.9

Addiere $9 x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5 x^{3} - 11}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (9 x + 11)}}{5}$