Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ $x \geq 2$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[1, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[1, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 1$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = y^{2} - 4 y + 5$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} - 4 y + 5 = x$ um.

$y^{2} - 4 y + 5 = x$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y + 5 - x = 0$

Schritt 2.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 5 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

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Schritt 2.2.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $5 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $- 4$ und $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 4 (1 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ um.

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Schritt 2.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Mutltipliziere $5 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Addiere $- 4$ und $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 4 (1 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ um.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Mutltipliziere $5 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Addiere $- 4$ und $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $- 4 (1 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ um.

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Schritt 2.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, x \geq 1$

Schritt 4