Analysis Beispiele

$f (x) = 6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} + 2$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 8$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 8$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.13

Mutltipliziere $\frac{2 {(x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.14

Bringe ${(x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.15

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.16

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.17

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.18.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 8)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x - 8}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 8}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x - 8} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x - 8}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 8}$ als ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 8)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 8 = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.3.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{4}{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 6 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} + 2$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$ .

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 8)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \frac{4}{{((7) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $8$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (7) = \frac{4}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (7) = \frac{4}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (7) = \frac{4}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (7) = \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f' (7) = \frac{4}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$f' (7) = - 4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $- 4$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 8)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 8)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f' (9) = \frac{4}{{((9) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$f' (9) = \frac{4}{1^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (9) = \frac{4}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f' (9) = 4$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 7.3

Bei $x = 9$ ist die Ableitung $4$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(8, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(8, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(8, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 8)$

Schritt 9