Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.5

Setze $- \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 2.5.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 2.5.2.6

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 2.5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $π n$ .

$π n$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Schritt 5.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Schritt 5.4

Bei $x = π n - 1$ ist die Ableitung $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = π n + 1$ ist die Ableitung $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(π n, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(π n, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Schritt 8