Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 5 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{3} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Schritt 2.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 5$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 5$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 5$

Schritt 2.2.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.2.3.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$4 - 9 + 5$

Schritt 2.2.3.6

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$- 5 + 5$

Schritt 2.2.3.7

Addiere $- 5$ und $5$ .

$0$

Schritt 2.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 5}{x - 1}$

Schritt 2.2.5

Dividiere $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$5$

Schritt 2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Schritt 2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} + 5 x$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$

Schritt 2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$	+	$5$

Schritt 2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$5$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$	+	$5$

Schritt 2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$5$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	+	$5$

Schritt 2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x + 5$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$5$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	-	$5$

Schritt 2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$5$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	-	$5$
										$0$

Schritt 2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 5 x - 5$

Schritt 2.2.6

Schreibe $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $4 x^{2} - 5 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $4 x^{2} - 5 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $4 x^{2} - 5 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 5$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Addiere $25$ und $80$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Addiere $25$ und $80$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Addiere $25$ und $80$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (4 x^{2} - 5 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$ .

$1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}) \cup (\frac{5 - \sqrt{105}}{8}, 1) \cup (1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8}) \cup (\frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{5 - \sqrt{105}}{8})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.6558688$ .

$f' (- 1.6558688) = 4 {(- 1.6558688)}^{3} - 9 {(- 1.6558688)}^{2} + 5$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.6558688$ mit $3$ .

$f' (- 1.6558688) = 4 \cdot - 4.54022911 - 9 {(- 1.6558688)}^{2} + 5$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4.54022911$ .

$f' (- 1.6558688) = - 18.16091647 - 9 {(- 1.6558688)}^{2} + 5$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 1.6558688$ mit $2$ .

$f' (- 1.6558688) = - 18.16091647 - 9 \cdot 2.74190148 + 5$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $2.74190148$ .

$f' (- 1.6558688) = - 18.16091647 - 24.67711334 + 5$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $24.67711334$ von $- 18.16091647$ .

$f' (- 1.6558688) = - 42.83802981 + 5$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 42.83802981$ und $5$ .

$f' (- 1.6558688) = - 37.83802981$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 37.83802981$ .

$- 37.83802981$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1.6558688$ ist die Ableitung $- 37.83802981$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{5 - \sqrt{105}}{8})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{5 - \sqrt{105}}{8})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.6558688, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1720656$ .

$f' (0.1720656) = 4 {(0.1720656)}^{3} - 9 {(0.1720656)}^{2} + 5$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.1720656$ mit $3$ .

$f' (0.1720656) = 4 \cdot 0.00509427 - 9 {(0.1720656)}^{2} + 5$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.00509427$ .

$f' (0.1720656) = 0.02037708 - 9 {(0.1720656)}^{2} + 5$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.1720656$ mit $2$ .

$f' (0.1720656) = 0.02037708 - 9 \cdot 0.02960657 + 5$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0.02960657$ .

$f' (0.1720656) = 0.02037708 - 0.26645913 + 5$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $0.26645913$ von $0.02037708$ .

$f' (0.1720656) = - 0.24608204 + 5$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 0.24608204$ und $5$ .

$f' (0.1720656) = 4.75391795$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.75391795$ .

$4.75391795$

Schritt 6.3

Bei $x = 0.1720656$ ist die Ableitung $4.75391795$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 0.6558688, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{5 - \sqrt{105}}{8}, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.45293445$ .

$f' (1.45293445) = 4 {(1.45293445)}^{3} - 9 {(1.45293445)}^{2} + 5$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.45293445$ mit $3$ .

$f' (1.45293445) = 4 \cdot 3.06717152 - 9 {(1.45293445)}^{2} + 5$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3.06717152$ .

$f' (1.45293445) = 12.2686861 - 9 {(1.45293445)}^{2} + 5$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $1.45293445$ mit $2$ .

$f' (1.45293445) = 12.2686861 - 9 \cdot 2.11101851 + 5$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $2.11101851$ .

$f' (1.45293445) = 12.2686861 - 18.99916664 + 5$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $18.99916664$ von $12.2686861$ .

$f' (1.45293445) = - 6.73048053 + 5$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 6.73048053$ und $5$ .

$f' (1.45293445) = - 1.73048053$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.73048053$ .

$- 1.73048053$

Schritt 7.3

Bei $x = 1.45293445$ ist die Ableitung $- 1.73048053$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8})$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.9058689$ .

$f' (2.9058689) = 4 {(2.9058689)}^{3} - 9 {(2.9058689)}^{2} + 5$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.9058689$ mit $3$ .

$f' (2.9058689) = 4 \cdot 24.53737221 - 9 {(2.9058689)}^{2} + 5$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $24.53737221$ .

$f' (2.9058689) = 98.14948884 - 9 {(2.9058689)}^{2} + 5$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2.9058689$ mit $2$ .

$f' (2.9058689) = 98.14948884 - 9 \cdot 8.44407406 + 5$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $8.44407406$ .

$f' (2.9058689) = 98.14948884 - 75.99666657 + 5$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $75.99666657$ von $98.14948884$ .

$f' (2.9058689) = 22.15282227 + 5$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $22.15282227$ und $5$ .

$f' (2.9058689) = 27.15282227$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $27.15282227$ .

$27.15282227$

Schritt 8.3

Bei $x = 2.9058689$ ist die Ableitung $27.15282227$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{5 - \sqrt{105}}{8}, 1), (\frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}), (1, \frac{5 + \sqrt{105}}{8})$

Schritt 10