Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - x^{- 2} + 9 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Schritt 1.1.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Schritt 1.1.4.6.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$0 - x^{- 2} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.4.1

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 18 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.2

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 18}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 1.1.5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, x^{3}, x^{4}, 1$

Schritt 2.2.2

Da $x^{2}, x^{3}, x^{4}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}, x^{3}, x^{4}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.2.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.2.7

Die Teiler von $x^{3}$ sind $x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 2.2.8

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 2.2.9

Das kgV von $x^{2}, x^{3}, x^{4}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 2.2.10

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Schritt 2.2.10.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.10.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.10.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 2.2.10.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Schritt 2.2.10.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Schritt 2.2.10.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.10.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.10.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Schritt 2.2.10.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1}$

Schritt 2.2.10.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ mit $x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} = 0$ mit $x^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{4} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - \frac{18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{x^{3}}$ in den Zähler.

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} x^{4} - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + \frac{- 18}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - 18 x - \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{x^{4}}$ in den Zähler.

$- x^{2} - 18 x + \frac{- 3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} - 18 x + \frac{- 3}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - 18 x - 3 = 0 x^{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{4}$ .

$- x^{2} - 18 x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 18$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.4

Schreibe $312$ als $2^{2} \cdot 78$ um.

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Schritt 2.4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $312$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Schritt 2.4.3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.3.5

Schreibe $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ als $- (9 \pm \sqrt{78})$ um.

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.4

Schreibe $312$ als $2^{2} \cdot 78$ um.

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Schritt 2.4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $312$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Schritt 2.4.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ als $- (9 \pm \sqrt{78})$ um.

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.4.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (9 + \sqrt{78})$

Schritt 2.4.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 9 - \sqrt{78}$

Schritt 2.4.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$x = - 9 - \sqrt{78}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot - 1 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 4 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{312}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.4

Schreibe $312$ als $2^{2} \cdot 78$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $312$ heraus.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (78)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache $\frac{18 \pm 2 \sqrt{78}}{- 2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$

Schritt 2.4.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{9 \pm \sqrt{78}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (9 \pm \sqrt{78})$ als $- (9 \pm \sqrt{78})$ um.

$x = - (9 \pm \sqrt{78})$

Schritt 2.4.5.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (9 - \sqrt{78})$

Schritt 2.4.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 9 + \sqrt{78}$

Schritt 2.4.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$x = - 9 + \sqrt{78}$

Schritt 2.4.5.9

Multipliziere $- - \sqrt{78}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 9 + 1 \sqrt{78}$

Schritt 2.4.5.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{78}$ mit $1$ .

$x = - 9 + \sqrt{78}$

Schritt 2.4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$ .

$- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Setze den Nenner in $\frac{18}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze den Nenner in $\frac{3}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 4.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 4.6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.6.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 9 - \sqrt{78}) \cup (- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78}) \cup (- 9 + \sqrt{78}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 18.83176$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}$ .

$f' (- 18.83176) = - (\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}} \cdot \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 18.83176)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2}}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}}$ mit $\frac{- 18.83176}{- 18.83176}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}} \cdot \frac{- 18.83176}{- 18.83176}) - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 18.83176)}^{3}}$ mit $\frac{- 18.83176}{- 18.83176}$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2} {(- 18.83176)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.5

Multipliziere ${(- 18.83176)}^{2}$ mit ${(- 18.83176)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.6

Stelle die Faktoren von ${(- 18.83176)}^{3} \cdot - 18.83176$ um.

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{- 18.83176 {(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.7

Multipliziere $- 18.83176$ mit ${(- 18.83176)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 18.83176$ mit ${(- 18.83176)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.7.1.1

Potenziere $- 18.83176$ mit $1$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{(- 18.83176) {(- 18.83176)}^{3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.1.7.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (- 18.83176) = - \frac{{(- 18.83176)}^{2}}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 18.83176}{{(- 18.83176)}^{4}} - \frac{3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 18.83176) = \frac{- {(- 18.83176)}^{2} - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $- 18.83176$ mit $2$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 1 \cdot 354.63518469 - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $354.63518469$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 354.63518469 - 18 \cdot - 18.83176 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 18.83176$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 354.63518469 + 338.97168 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Addiere $- 354.63518469$ und $338.97168$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 15.66350469 - 3}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.4.2

Subtrahiere $3$ von $- 15.66350469$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 18.66350469}{{(- 18.83176)}^{4}}$

Schritt 6.2.4.3

Potenziere $- 18.83176$ mit $4$ .

$f' (- 18.83176) = \frac{- 18.66350469}{125766.1142255}$

Schritt 6.2.4.4

Dividiere $- 18.66350469$ durch $125766.1142255$ .

$f' (- 18.83176) = - 0.00014839$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 0.00014839$ .

$- 0.00014839$

Schritt 6.3

Bei $x = - 18.83176$ ist die Ableitung $- 0.00014839$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 9 - \sqrt{78})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 17.83176, - 9 + \sqrt{78})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8.99999956$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ .

$f' (- 8.99999956) = - (\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}} \cdot \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2}}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}}$ mit $\frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}} \cdot \frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}) - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 8.99999956)}^{3}}$ mit $\frac{- 8.99999956}{- 8.99999956}$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2} {(- 8.99999956)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.5

Multipliziere ${(- 8.99999956)}^{2}$ mit ${(- 8.99999956)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.6

Stelle die Faktoren von ${(- 8.99999956)}^{3} \cdot - 8.99999956$ um.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{- 8.99999956 {(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.7

Multipliziere $- 8.99999956$ mit ${(- 8.99999956)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 8.99999956$ mit ${(- 8.99999956)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.7.1.1

Potenziere $- 8.99999956$ mit $1$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{(- 8.99999956) {(- 8.99999956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.1.7.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (- 8.99999956) = - \frac{{(- 8.99999956)}^{2}}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 8.99999956}{{(- 8.99999956)}^{4}} - \frac{3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 8.99999956) = \frac{- {(- 8.99999956)}^{2} - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $- 8.99999956$ mit $2$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 1 \cdot 80.99999217 - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $80.99999217$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 80.99999217 - 18 \cdot - 8.99999956 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 8.99999956$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{- 80.99999217 + 161.99999217 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Addiere $- 80.99999217$ und $161.99999217$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{81 - 3}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.4.2

Subtrahiere $3$ von $81$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{78}{{(- 8.99999956)}^{4}}$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $- 8.99999956$ mit $4$ .

$f' (- 8.99999956) = \frac{78}{6560.99873154}$

Schritt 7.2.4.4

Dividiere $78$ durch $6560.99873154$ .

$f' (- 8.99999956) = 0.01188843$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $0.01188843$ .

$0.01188843$

Schritt 7.3

Bei $x = - 8.99999956$ ist die Ableitung $0.01188843$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 17.83176, - 9 + \sqrt{78})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.16823913, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.08411956$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ .

$f' (- 0.08411956) = - (\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}} \cdot \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}) - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ mit $\frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2}}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}}$ mit $\frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - (\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}} \cdot \frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}) - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{18}{{(- 0.08411956)}^{3}}$ mit $\frac{- 0.08411956}{- 0.08411956}$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2} {(- 0.08411956)}^{2}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.5

Multipliziere ${(- 0.08411956)}^{2}$ mit ${(- 0.08411956)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{2 + 2}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.6

Stelle die Faktoren von ${(- 0.08411956)}^{3} \cdot - 0.08411956$ um.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{- 0.08411956 {(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.7

Multipliziere $- 0.08411956$ mit ${(- 0.08411956)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 0.08411956$ mit ${(- 0.08411956)}^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.7.1.1

Potenziere $- 0.08411956$ mit $1$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{(- 0.08411956) {(- 0.08411956)}^{3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{1 + 3}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.1.7.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (- 0.08411956) = - \frac{{(- 0.08411956)}^{2}}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{18 \cdot - 0.08411956}{{(- 0.08411956)}^{4}} - \frac{3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 0.08411956) = \frac{- {(- 0.08411956)}^{2} - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $- 0.08411956$ mit $2$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1 \cdot 0.0070761 - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.0070761$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 0.0070761 - 18 \cdot - 0.08411956 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 0.08411956$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 0.0070761 + 1.51415217 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.4.1

Addiere $- 0.0070761$ und $1.51415217$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{1.50707606 - 3}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.4.2

Subtrahiere $3$ von $1.50707606$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1.49292393}{{(- 0.08411956)}^{4}}$

Schritt 8.2.4.3

Potenziere $- 0.08411956$ mit $4$ .

$f' (- 0.08411956) = \frac{- 1.49292393}{0.00005007}$

Schritt 8.2.4.4

Dividiere $- 1.49292393$ durch $0.00005007$ .

$f' (- 0.08411956) = - 29816.01559941$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 29816.01559941$ .

$- 29816.01559941$

Schritt 8.3

Bei $x = - 0.08411956$ ist die Ableitung $- 29816.01559941$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.16823913, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 9 + \sqrt{78}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{18}{{(1)}^{3}} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 1 - \frac{18}{1} - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.5

Dividiere $18$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 18 - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Schritt 9.2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 1 - 18 - \frac{3}{1}$

Schritt 9.2.1.8

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - 1 \cdot 3$

Schritt 9.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (1) = - 1 - 18 - 3$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $- 1$ .

$f' (1) = - 19 - 3$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 19$ .

$f' (1) = - 22$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 22$ .

$- 22$

Schritt 9.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 22$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 9 - \sqrt{78}, - 9 + \sqrt{78})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 9 - \sqrt{78}), (- 9 + \sqrt{78}, 0), (0, \infty)$

Schritt 11