Analysis Beispiele

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $0.7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.7 x^{3}$ nach $x$ gleich $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.7$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = {1.7}^{x}$ und $g (x) = - 1.8 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $1.7$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $- 1.8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.8 x$ nach $x$ gleich $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $\ln (1.7)$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $- 0.95513085$ auf die linke Seite von ${1.7}^{- 1.8 x}$ .

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ .

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3.36689747)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4.3668976$ mit $2$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2.1$ mit $19.06979464$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $1.7$ mit $7.86041568$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 0.95513085$ mit $64.77751969$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $61.87100757$ von $40.04656876$ .

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 21.8244388$ .

$- 21.8244388$

Schritt 5.3

Bei $x = - 4.3668976$ ist die Ableitung $- 21.8244388$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3.36689747)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3.36689747)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.27903855$ mit $2$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2.1$ mit $5.19401671$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $1.7$ mit $4.10226939$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 0.95513085$ mit $8.81786724$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $8.42221705$ von $10.90743509$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.48521804$ .

$2.48521804$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2.27903855$ ist die Ableitung $2.48521804$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.1911795, 0.52487955)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.33314995$ mit $2$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2.1$ mit $0.11098888$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $1.7$ mit $0.59966991$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 0.95513085$ mit $1.37465363$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1.31297409$ von $0.23307666$ .

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.07989742$ .

$- 1.07989742$

Schritt 7.3

Bei $x = - 0.33314995$ ist die Ableitung $- 1.07989742$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.1911795, 0.52487955)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1.19117954, 0.52487955)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.52487955, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.5248796$ mit $2$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $2.1$ mit $2.32525779$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

Schritt 8.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $1.7$ mit $2.74478328$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

Schritt 8.2.1.6

Dividiere $1$ durch $4.29074145$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

Schritt 8.2.1.7

Mutltipliziere $- 0.95513085$ mit $0.23305995$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $0.22260275$ von $4.88304136$ .

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.66043861$ .

$4.66043861$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.5248796$ ist die Ableitung $4.66043861$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0.52487955, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0.52487955, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

Schritt 10