Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 7 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 7$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ .

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Schritt 1.1.3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2.2

Addiere $- 7 x^{2} - 32 x + 112$ und $0$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Addiere $- 7 x^{2}$ und $14 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.4

Subtrahiere $24 x$ von $- 32 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2} - 56 x + 112$ heraus.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 56 x$ heraus.

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Faktorisiere $7$ aus $112$ heraus.

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.4

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ heraus.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ heraus.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.3.4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 1.1.3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$7 = 0$

Schritt 2.3

Da $7 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 5$ und $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 6.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 7.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $7$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Schritt 9