Analysis Beispiele

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(3 x - 7)}^{2}$ als $(3 x - 7) (3 x - 7)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(3 x - 7) (3 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $21 x$ von $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

Schritt 1.1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 42 x + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.8

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42 x$ nach $x$ gleich $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $- 42$ mit $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 1.1.11

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 x - 42 + 0$

Schritt 1.1.12

Addiere $18 x - 42$ und $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $18 x - 42 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$18 x - 42 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $42$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$18 x = 42$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $18 x = 42$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $18 x = 42$ durch $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $18$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $42$ heraus.

$x = \frac{6 (7)}{18}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 18 x - 42$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{7}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{3}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $42$ von $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 18$ .

$- 18$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{4}{3}$ ist die Ableitung $- 18$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{7}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{7}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{7}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10}{3}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

Schritt 6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $42$ von $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $18$ .

$18$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{10}{3}$ ist die Ableitung $18$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{7}{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{7}{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{7}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{7}{3})$

Schritt 8