Analysis Beispiele

$f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ als ${(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}$ um.

$0 - 20 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 52 x + 179$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Schritt 1.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 52 x + 179$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Schritt 1.1.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 52$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 52 x$ nach $x$ gleich $- 52 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [179]))$

Schritt 1.1.2.9

Da $179$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $179$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.1.2.11

Mutltipliziere $- 52$ mit $1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 + 0))$

Schritt 1.1.2.12

Addiere $8 x - 52$ und $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52))$

Schritt 1.1.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$0 + 20 {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 20 \frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Schritt 1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$0 + \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Schritt 1.1.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ um.

$(8 x - 52) \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $8 x - 52$ mit $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{(8 x - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x - 52$ heraus.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{(4 (2 x) - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 52$ heraus.

$\frac{(4 (2 x) + 4 (- 13)) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x) + 4 (- 13)$ heraus.

$\frac{4 (2 x - 13) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $20$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$80 (2 x - 13) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $80 (2 x - 13) = 0$ durch $80$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $80 (2 x - 13) = 0$ durch $80$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $80$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $2 x - 13$ durch $1$ .

$2 x - 13 = \frac{0}{80}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $80$ .

$2 x - 13 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 13$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 13$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 13$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{13}{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{13}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (11 - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{2}$ an.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 52$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 (- 26) (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 \cdot (- 26 (\frac{11}{2})) + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 26 \cdot 11 + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $- 26$ mit $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 286 + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.7

Subtrahiere $286$ von $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.8

Addiere $- 165$ und $179$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{14^{2}}$

Schritt 5.2.2.9

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{196}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $80$ mit $- 2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 160}{196}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 160$ und $196$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 160$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 (- 40)}{196}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 40}{49}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{40}{49}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{40}{49}$ .

$- \frac{40}{49}$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{11}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{40}{49}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{13}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{13}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{13}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (15 - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $13$ von $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 52$ heraus.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 (- 26) (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 \cdot (- 26 (\frac{15}{2})) + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 26 \cdot 15 + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $- 26$ mit $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 390 + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.7

Subtrahiere $390$ von $225$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.8

Addiere $- 165$ und $179$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{14^{2}}$

Schritt 6.2.2.9

Potenziere $14$ mit $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{196}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $80$ mit $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{160}{196}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $160$ und $196$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $160$ heraus.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 (40)}{196}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{40}{49}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{40}{49}$ .

$\frac{40}{49}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{15}{2}$ ist die Ableitung $\frac{40}{49}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{13}{2}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{13}{2}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{13}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{13}{2})$

Schritt 8