Analysis Beispiele

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Schritt 1.1.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Schritt 1.1.5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Schritt 1.1.5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 1.1.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Schritt 1.1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $- 2 e^{- x} \sin (x)$ heraus.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $- 2 e^{- x} \cos (x)$ heraus.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $2 e^{- x}$ aus $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ heraus.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.5

Setze $- \sin (x) - \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- \sin (x) - \cos (x)$ gleich $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.6

Separiere Brüche.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.5.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 2.5.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 2.5.2.10

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = 1$

Schritt 2.5.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.11.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 2.5.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.14

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 2.5.2.15

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.5.2.15.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 2.5.2.15.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.5.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.5.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.5.2.17

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.5.2.17.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.5.2.17.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.17.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.2.17.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5.2.17.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.5.2.17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.17.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.5.2.17.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5.2.17.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5.2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Schritt 5.3

Bei $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ ist die Ableitung $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ ist die Ableitung $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Schritt 8