Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$- (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ mit $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot 0$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} + 2}$ mit $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + 0$

Schritt 1.1.4.8.2

Addiere $2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$ und $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.2.2

Kombiniere $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{3^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{9}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{2}{9}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{2}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{3^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{9}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{2}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 8