Analysis Beispiele

$x = e^{t} - 5$ , $y = e^{2 t}$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = e^{t} - 5$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $e^{t} - 5 = x$ um.

$e^{t} - 5 = x$

Schritt 3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{t} = x + 5$

Schritt 4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{t}) = \ln (x + 5)$

Schritt 5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.1

Zerlege $\ln (e^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$t \ln (e) = \ln (x + 5)$

Schritt 5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$t \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t = \ln (x + 5)$

Schritt 6

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = e^{2 (\ln (x + 5))}$

Schritt 7

Vereinfache $e^{2 (\ln (x + 5))}$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache $2 (\ln (x + 5))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{\ln ({(x + 5)}^{2})}$

Schritt 7.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y = {(x + 5)}^{2}$

Schritt 7.3

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$y = (x + 5) (x + 5)$

Schritt 7.4

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x + 5) + 5 (x + 5)$

Schritt 7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)$

Schritt 7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Schritt 7.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5$

Schritt 7.5.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5$

Schritt 7.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = x^{2} + 5 x + 5 x + 25$

Schritt 7.5.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$y = x^{2} + 10 x + 25$