Analysis Beispiele

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ um.

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$t = 2 \arcsin (x)$

Schritt 7

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Schritt 9

Vereinfache $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arcsin (x)$ heraus.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

Schritt 9.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Schritt 9.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \cos (\arcsin (x))$

Schritt 9.1.2

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 9.1.2.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 9.1.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 9.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$