Analysis Beispiele

$y = \ln (x) \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x) \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Um $- \frac{\sin (x)}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.6

Subtrahiere $x \sin (x)$ von $- x \sin (x)$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.7

Um $- \ln (x) \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.8

Kombiniere $- \ln (x) \cos (x)$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

Schritt 2.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Schritt 2.4.9

Schreibe $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ als $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Schritt 2.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$