Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{9} \tan (3 x + 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} \cdot \tan (3 x + 1)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\tan (3 x + 1)]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\tan (3 x + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{9} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{1}{9} (\sec^{2} (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\sec^{2} (3 x + 1)$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} (3 + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9} \cdot 3$

Schritt 1.3.7.2

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{9}$ und $3$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x + 1) \cdot 3}{9}$

Schritt 1.3.7.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (3 x + 1)$ .

$\frac{3 \cdot \sec^{2} (3 x + 1)}{9}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec^{2} (3 x + 1)$ heraus.

$\frac{3 (\sec^{2} (3 x + 1))}{9}$

Schritt 1.3.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \sec^{2} (3 x + 1)}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sec^{2} (3 x + 1)}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sec^{2} (3 x + 1)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x + 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (3 x + 1)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (3 x + 1)$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (3 x + 1)$ .

$\frac{1}{3} (2 \sec (3 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)])$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\sec (3 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sec (3 x + 1)$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sec (3 x + 1) \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (3 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (3 x + 1)}{3} \frac{d}{d x} [\sec (3 x + 1)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{2 \sec (3 x + 1)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2 \sec (3 x + 1)}{3} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{2 \sec (3 x + 1)}{3} (\sec (3 x + 1) \tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sec (3 x + 1)$ und $\frac{2 \sec (3 x + 1)}{3}$ .

$\frac{\sec (3 x + 1) (2 \sec (3 x + 1))}{3} (\tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.6

Potenziere $\sec (3 x + 1)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sec^{1} (3 x + 1) \sec (3 x + 1))}{3} (\tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.7

Potenziere $\sec (3 x + 1)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sec^{1} (3 x + 1) \sec^{1} (3 x + 1))}{3} (\tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sec (3 x + 1)}^{1 + 1}}{3} (\tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (\tan (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\tan (3 x + 1)$ und $\frac{2 \sec^{2} (3 x + 1)}{3}$ .

$\frac{\tan (3 x + 1) (2 \sec^{2} (3 x + 1))}{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (3 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} (3 + 0)$

Schritt 2.15

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.15.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.15.2

Kombiniere $\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3}$ und $3$ .

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1) \cdot 3}{3}$

Schritt 2.15.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{3}$

Schritt 2.15.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.15.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)$ heraus.

$\frac{3 (2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1))}{3}$

Schritt 2.15.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1))}{3 (1)}$

Schritt 2.15.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1))}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.15.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)}{1}$

Schritt 2.15.4.2.4

Dividiere $2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)$ durch $1$ .

$2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)$

Schritt 2.15.5

Stelle die Faktoren von $2 \tan (3 x + 1) \sec^{2} (3 x + 1)$ um.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (3 x + 1) \tan (3 x + 1)$