Analysis Beispiele

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $9$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $9 \sin (10 \cos (θ))$ nach $θ$ gleich $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $10 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 90$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ und $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.5.1

Da $10$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $10 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Schritt 2.6

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

Schritt 2.8

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Schritt 2.9

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.12.3

Stelle die Terme um.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$