Analysis Beispiele

$s = 1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{t + 3}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{t + 3}$ als ${(t + 3)}^{- 1}$ um.

$0 + 3 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t + 3$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t + 3$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.6

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ als ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 1.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 1.3.4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Schritt 1.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Schritt 1.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Schritt 1.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1))$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3)))$

Schritt 1.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3))$

Schritt 1.3.12

Potenziere $t + 3$ mit $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4}))$

Schritt 1.3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4})$

Schritt 1.3.14

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 3})$

Schritt 1.3.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 18$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Schritt 1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.4.3.3

Subtrahiere $\frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 1.4.3.4

Kombiniere $36$ und $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$f' (t) = - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ als ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- 3 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.12

Potenziere $t + 3$ mit $1$ .

$- 3 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.14

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $36$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ nach $t$ gleich $36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ als ${({(t + 3)}^{3})}^{- 1}$ um.

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = {(t + 3)}^{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t + 3$ .

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Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Schritt 2.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Schritt 2.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} \cdot 1))$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2}))$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 6} {(t + 3)}^{2})$

Schritt 2.3.12

Multipliziere ${(t + 3)}^{- 6}$ mit ${(t + 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.12.1

Bewege ${(t + 3)}^{2}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 ({(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{- 6}))$

Schritt 2.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{2 - 6})$

Schritt 2.3.12.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 4})$

Schritt 2.3.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $36$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Schritt 2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.4.3.2

Kombiniere $- 108$ und $\frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} + \frac{- 108}{{(t + 3)}^{4}}$

Schritt 2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (t) = \frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - \frac{108}{{(t + 3)}^{4}}$