Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{25} \tan (5 x + 3)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{25} \cdot \tan (5 x + 3)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 3)]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 3)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 3$ .

$\frac{1}{25} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{25} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 3$ .

$\frac{1}{25} (\sec^{2} (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\sec^{2} (5 x + 3)$ und $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} (5 + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25} \cdot 5$

Schritt 1.3.7.2

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{25}$ und $5$ .

$\frac{\sec^{2} (5 x + 3) \cdot 5}{25}$

Schritt 1.3.7.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (5 x + 3)$ .

$\frac{5 \cdot \sec^{2} (5 x + 3)}{25}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{2} (5 x + 3)$ heraus.

$\frac{5 (\sec^{2} (5 x + 3))}{25}$

Schritt 1.3.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.7.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x + 3)}{5 \cdot 5}$

Schritt 1.3.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x + 3)}{5 \cdot 5}$

Schritt 1.3.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{5}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sec^{2} (5 x + 3)}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x + 3)]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x + 3)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (5 x + 3)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (5 x + 3)$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (5 x + 3)$ .

$\frac{1}{5} (2 \sec (5 x + 3) \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)])$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (\sec (5 x + 3) \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sec (5 x + 3)$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\sec (5 x + 3) \cdot 2}{5} \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (5 x + 3)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (5 x + 3)}{5} \frac{d}{d x} [\sec (5 x + 3)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x + 3$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x + 3$ .

$\frac{2 \sec (5 x + 3)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2 \sec (5 x + 3)}{5} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x + 3$ .

$\frac{2 \sec (5 x + 3)}{5} (\sec (5 x + 3) \tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sec (5 x + 3)$ und $\frac{2 \sec (5 x + 3)}{5}$ .

$\frac{\sec (5 x + 3) (2 \sec (5 x + 3))}{5} (\tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.6

Potenziere $\sec (5 x + 3)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sec^{1} (5 x + 3) \sec (5 x + 3))}{5} (\tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.7

Potenziere $\sec (5 x + 3)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sec^{1} (5 x + 3) \sec^{1} (5 x + 3))}{5} (\tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sec (5 x + 3)}^{1 + 1}}{5} (\tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (\tan (5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\tan (5 x + 3)$ und $\frac{2 \sec^{2} (5 x + 3)}{5}$ .

$\frac{\tan (5 x + 3) (2 \sec^{2} (5 x + 3))}{5} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Schritt 2.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (5 x + 3)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.14

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} (5 + 0)$

Schritt 2.15

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.15.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5} \cdot 5$

Schritt 2.15.2

Kombiniere $\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5}$ und $5$ .

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3) \cdot 5}{5}$

Schritt 2.15.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{5}$

Schritt 2.15.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 2.15.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)$ heraus.

$\frac{5 (2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3))}{5}$

Schritt 2.15.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3))}{5 (1)}$

Schritt 2.15.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3))}{5 \cdot 1}$

Schritt 2.15.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)}{1}$

Schritt 2.15.4.2.4

Dividiere $2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)$ durch $1$ .

$2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)$

Schritt 2.15.5

Stelle die Faktoren von $2 \tan (5 x + 3) \sec^{2} (5 x + 3)$ um.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (5 x + 3) \tan (5 x + 3)$