Analysis Beispiele

$A'' (s) = 2 + \frac{2048}{s^{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \frac{2048}{s^{3}}$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [2] + \frac{d}{d s} [\frac{2048}{s^{3}}]$ .

$\frac{d}{d s} [2] + \frac{d}{d s} [\frac{2048}{s^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [\frac{2048}{s^{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d s} [\frac{2048}{s^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2048$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2048}{s^{3}}$ nach $s$ gleich $2048 \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$0 + 2048 \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{s^{3}}$ als ${(s^{3})}^{- 1}$ um.

$0 + 2048 \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{- 1}$ und $g (s) = s^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $s^{3}$ .

$0 + 2048 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 2048 (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $s^{3}$ .

$0 + 2048 (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 2048 (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2}))$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2048 (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2}))$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 + 2048 (- s^{- 6} (3 s^{2}))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 + 2048 (- 3 s^{- 6} s^{2})$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $s^{- 6}$ mit $s^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Bewege $s^{2}$ .

$0 + 2048 (- 3 (s^{2} s^{- 6}))$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + 2048 (- 3 s^{2 - 6})$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$0 + 2048 (- 3 s^{- 4})$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2048$ .

$0 - 6144 s^{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 6144 \frac{1}{s^{4}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 6144$ und $\frac{1}{s^{4}}$ .

$0 + \frac{- 6144}{s^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{6144}{s^{4}}$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $\frac{6144}{s^{4}}$ von $0$ .

$f' (s) = - \frac{6144}{s^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 6144$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6144}{s^{4}}$ nach $s$ gleich $- 6144 \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- 6144 \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{s^{4}}$ als ${(s^{4})}^{- 1}$ um.

$- 6144 \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6144 \frac{d}{d s} [s^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 6144 \frac{d}{d s} [s^{- 4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 6144 (- 4 s^{- 5})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6144$ .

$24576 s^{- 5}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24576 \frac{1}{s^{5}}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $24576$ und $\frac{1}{s^{5}}$ .

$f'' (s) = \frac{24576}{s^{5}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $A'' (s)$ nach $s$ ist $\frac{24576}{s^{5}}$ .

$\frac{24576}{s^{5}}$