Analysis Beispiele

$w = (\frac{1 + 15 z}{5 z}) (10 - z)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = \frac{1 + 15 z}{5 z}$ und $g (z) = 10 - z$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [10 - z] + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [10] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (\frac{d}{d z} [10] + \frac{d}{d z} [- z]) + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.2

Da $10$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [- z] + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- 1 \cdot 1) + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \cdot - 1 + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ und $- 1$ .

$\frac{(1 + 15 z) \cdot - 1}{5 z} + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + 15 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + 15 z)}{5 z} + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.6.3.2

Schreibe $- 1 (1 + 15 z)$ als $- (1 + 15 z)$ um.

$\frac{- (1 + 15 z)}{5 z} + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Schritt 1.2.7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) (\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = 1 + 15 z$ und $g (z) = z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 15 z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.4

Da $15$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $15 z$ nach $z$ gleich $15 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \cdot 1) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.6.1

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{z \cdot 15 - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{15 \cdot z - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Schritt 1.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2} \cdot 5}$

Schritt 1.4.8.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $z^{2}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 \cdot z^{2}}$

Schritt 1.5

Um $(10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} \cdot \frac{5 z}{5 z}$

Schritt 1.6

Kombiniere $(10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ und $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + \frac{(10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Schritt 1.8

Kombiniere $5$ und $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}} z}{5 z}$

Schritt 1.9

Kombiniere $z$ und $\frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{5 z^{2}}}{5 z}$

Schritt 1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $z$ aus $5 z^{2}$ heraus.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Schritt 1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Schritt 1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (1 + 15 z) + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (10 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (10 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - (15 z) + (10 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) \frac{15 z - 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) \frac{15 z - 1 - 15 z}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.3

Subtrahiere $15 z$ von $15 z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) \frac{0 - 1}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - 15 z + (10 - z) (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 - 15 z + 10 (- \frac{1}{z}) - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.6

Multipliziere $10 (- \frac{1}{z})$ .

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Schritt 1.12.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{- 1 - 15 z - 10 \frac{1}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.6.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 1.12.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{z}$ in den Zähler.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} - z \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.2

Faktorisiere $z$ aus $- z$ heraus.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} - 1 \cdot - 1}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 10}{z} + 1}{5 z}$

Schritt 1.12.3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - 15 z - \frac{10}{z} + 1}{5 z}$

Schritt 1.12.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 - 15 z - \frac{10}{z} + 1$ .

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Schritt 1.12.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{- 15 z - \frac{10}{z} + 0}{5 z}$

Schritt 1.12.3.2.2

Addiere $- 15 z - \frac{10}{z}$ und $0$ .

$\frac{- 15 z - \frac{10}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15 z - \frac{10}{z}$ und $5$ .

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Schritt 1.12.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 z$ heraus.

$\frac{5 (- 3 z) - \frac{10}{z}}{5 z}$

Schritt 1.12.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- \frac{10}{z}$ heraus.

$\frac{5 (- 3 z) + 5 (- \frac{2}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- 3 z) + 5 (- \frac{2}{z})$ heraus.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{2}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 z$ heraus.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{2}{z})}{5 (z)}$

Schritt 1.12.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{2}{z})}{5 z}$

Schritt 1.12.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 z - \frac{2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.5.1

Um $- 3 z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{- 3 z \cdot \frac{z}{z} - \frac{2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.2

Kombiniere $- 3 z$ und $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z}{z} - \frac{2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z - 2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.4

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.5.4.1

Bewege $z$ .

$\frac{\frac{- 3 (z \cdot z) - 2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{\frac{- 3 z^{2} - 2}{z}}{z}$

Schritt 1.12.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Schritt 1.12.7

Multipliziere $\frac{- 3 z^{2} - 2}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

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Schritt 1.12.7.1

Mutltipliziere $\frac{- 3 z^{2} - 2}{z}$ mit $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z \cdot z}$

Schritt 1.12.7.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z^{1} z}$

Schritt 1.12.7.3

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z^{1} z^{1}}$

Schritt 1.12.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z^{1 + 1}}$

Schritt 1.12.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 2}{z^{2}}$

Schritt 1.12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 z^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2}) - 2}{z^{2}}$

Schritt 1.12.9

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (3 z^{2}) - 1 (2)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 z^{2}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2} + 2)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.11

Schreibe $- (3 z^{2} + 2)$ als $- 1 (3 z^{2} + 2)$ um.

$\frac{- 1 (3 z^{2} + 2)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (z) = - \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = - 1$ und $g (z) = \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}}$ .

$- \frac{d}{d z} [\frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}}] + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.2

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 2] - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 2] - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 2] - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 z^{2} + 2$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [2]$ .

$- \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [2]) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $3 z^{2}$ nach $z$ gleich $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- \frac{z^{2} (3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [2]) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{z^{2} (3 (2 z) + \frac{d}{d z} [2]) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + \frac{d}{d z} [2]) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + 0) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.7

Addiere $6 z$ und $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z) - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4

Multipliziere $z^{2}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $z$ .

$- \frac{z \cdot z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$- \frac{z^{1} z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{z^{1 + 2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{z^{3} \cdot 6 - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $z^{3}$ .

$- \frac{6 \cdot z^{3} - (3 z^{2} + 2) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - (3 z^{2} + 2) (2 z)}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 2) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 2) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{3 z^{2} + 2}{z^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 2) z}{z^{4}} + 0$

Schritt 2.9.2

Addiere $- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 2) z}{z^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 2) z}{z^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 z^{3} + (- 2 (3 z^{2}) - 2 \cdot 2) z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2}) z - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Multipliziere $z^{2}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.1.1

Bewege $z$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z \cdot z^{2})) - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.10.3.1.1.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z^{1} z^{2})) - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{1 + 2}) - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{3}) - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 2 \cdot 2 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 4 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Subtrahiere $6 z^{3}$ von $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 4 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.3

Subtrahiere $4 z$ von $0$ .

$- \frac{- 4 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z$ und $z^{4}$ .

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Schritt 2.10.4.1.1

Faktorisiere $z$ aus $- 4 z$ heraus.

$- \frac{z \cdot - 4}{z^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.4.1.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{4}$ heraus.

$- \frac{z \cdot - 4}{z \cdot z^{3}}$

Schritt 2.10.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{z \cdot - 4}{z \cdot z^{3}}$

Schritt 2.10.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 4}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{4}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.4

Mutltipliziere $\frac{4}{z^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (z) = \frac{4}{z^{3}}$