Analysis Beispiele

$f' (x) = \frac{d}{d x} \cdot 8 \cos (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Schritt 1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Schritt 1.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x} \cdot \cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{8}{x}$ und $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 \cos (2 x)}{x}]$

Schritt 1.1.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 \cos (2 x)}{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = x$ .

$8 \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$8 \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$8 \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Kombiniere $8$ und $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{- 16 (x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $8$ aus $- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16 x \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))$ heraus.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ heraus.

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.7

Schreibe $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ als $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ um.

$\frac{8 (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Schritt 1.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere.

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Schritt 2.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \cdot 1) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.8.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.8.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ heraus.

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Schritt 2.8.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))$ heraus.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.8.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ heraus.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.8.6.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))$ heraus.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 8$ und $\frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))) + 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))$ .

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Schritt 2.12.5.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $8 (x (2 \sin (2 x)))$ und $8 (x (- 2 \sin (2 x)))$ neu an.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 2 \cdot 8 x \sin (2 x) - 2 \cdot 8 x \sin (2 x) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.1.2

Subtrahiere $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ von $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 0 + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.1.3

Addiere $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))))$ und $0$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.5.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.12.5.2.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{8 (x \cdot x (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{8 (x^{2} (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{8 (2 \cdot 2 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{8 (4 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$- \frac{32 (x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) + 8 (- 4 (x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 (x \sin (2 x)) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.5.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Schritt 2.12.6

Faktorisiere $16$ aus $32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)$ heraus.

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Schritt 2.12.6.1

Faktorisiere $16$ aus $32 x^{2} \cos (2 x)$ heraus.

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Schritt 2.12.6.2

Faktorisiere $16$ aus $- 32 x \sin (2 x)$ heraus.

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Schritt 2.12.6.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \cos (2 x)$ heraus.

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.6.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x))$ heraus.

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 2.12.6.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f' (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$