Analysis Beispiele

$y = \csc (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\csc (u)$ nach $u$ ist $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ um.

$f' (x) = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (2 x)$ und $g (x) = \csc (2 x)$ .

$- 2 (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\cot (2 x)$ mit $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\cot (2 x)$ mit $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (- \csc (2 x) {\cot (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \cdot 1 + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.8.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.9

Potenziere $\csc (2 x)$ mit $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - (\csc^{1} (2 x) \csc^{2} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - {\csc (2 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \cdot 1)$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x))$

Schritt 2.16

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Schritt 2.16.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 (\csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Schritt 2.16.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$

Schritt 2.16.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 \cot^{2} (2 x) \csc (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$