Analysis Beispiele

$y = \frac{3 - 2 x^{3} + x^{5}}{x^{9}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 - 2 x^{3} + x^{5}$ und $g (x) = x^{9}$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{3} + x^{5}] - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{{(x^{9})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{3} + x^{5}] - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{9 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{3} + x^{5}] - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x^{3} + x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{9} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{9} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{9} (- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{9} (- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{9} (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{x^{9} (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - (3 - 2 x^{3} + x^{5}) (9 x^{8})}{x^{18}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{9} (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

Schritt 1.2.10.2

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{9} (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}) x^{8}$ heraus.

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Schritt 1.2.10.2.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{9} (- 6 x^{2} + 5 x^{4})$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4})) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

Schritt 1.2.10.2.2

Faktorisiere $x^{8}$ aus $- 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}) x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}))}{x^{18}}$

Schritt 1.2.10.2.3

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}))$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}))}{x^{18}}$

Schritt 1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{18}$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{8} (x (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- 6 x^{2} + 5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5})}{x^{10}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 6 x^{2}) + x (5 x^{4}) - 9 (3 - 2 x^{3} + x^{5})}{x^{10}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 6 x^{2}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 x \cdot x^{2} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 6 (x^{2} x) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 6 (x^{2} x^{1}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 x^{2 + 1} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 6 x^{3} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 x^{3} + 5 x \cdot x^{4} - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.3.1.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 5 (x^{4} x) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 1.4.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 5 (x^{4} x^{1}) - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 x^{3} + 5 x^{4 + 1} - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 5 x^{5} - 9 \cdot 3 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 5 x^{5} - 27 - 9 (- 2 x^{3}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 5 x^{5} - 27 + 18 x^{3} - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 6 x^{3}$ und $18 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} + 5 x^{5} - 27 - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 1.4.3.3

Subtrahiere $9 x^{5}$ von $5 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{3} - 4 x^{5} - 27}{x^{10}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{5} + 12 x^{3} - 27}{x^{10}}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$\frac{- (4 x^{5}) + 12 x^{3} - 27}{x^{10}}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (4 x^{5}) - (- 12 x^{3}) - 27}{x^{10}}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{5}) - (- 12 x^{3})$ heraus.

$\frac{- (4 x^{5} - 12 x^{3}) - 27}{x^{10}}$

Schritt 1.4.8

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$\frac{- (4 x^{5} - 12 x^{3}) - 1 (27)}{x^{10}}$

Schritt 1.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{5} - 12 x^{3}) - 1 (27)$ heraus.

$\frac{- (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{10}}$

Schritt 1.4.10

Schreibe $- (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)$ als $- 1 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)$ um.

$\frac{- 1 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{10}}$

Schritt 1.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}}] + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

$- \frac{x^{10} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 12 x^{3} + 27] - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{{(x^{10})}^{2}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{10} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 12 x^{3} + 27] - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{10 \cdot 2}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$- \frac{x^{10} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 12 x^{3} + 27] - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{5} - 12 x^{3} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$- \frac{x^{10} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{x^{10} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{x^{10} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.6

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.9

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2} + 0) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.10

Addiere $20 x^{4} - 36 x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2}) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2}) - (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) (10 x^{9})}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.12.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) x^{9}}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2

Faktorisiere $x^{9}$ aus $x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) x^{9}$ heraus.

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Schritt 2.3.12.2.1

Faktorisiere $x^{9}$ aus $x^{10} (20 x^{4} - 36 x^{2})$ heraus.

$- \frac{x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2})) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) x^{9}}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2.2

Faktorisiere $x^{9}$ aus $- 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27) x^{9}$ heraus.

$- \frac{x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2})) + x^{9} (- 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27))}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.12.2.3

Faktorisiere $x^{9}$ aus $x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2})) + x^{9} (- 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27))$ heraus.

$- \frac{x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27))}{x^{20}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x^{9}$ aus $x^{20}$ heraus.

$- \frac{x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27))}{x^{9} x^{11}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{9} (x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27))}{x^{9} x^{11}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}} + \frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}} \cdot 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{5} - 12 x^{3} + 27}{x^{10}}$ mit $0$ .

$- \frac{x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}} + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $- \frac{x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}}$ und $0$ .

$- \frac{x (20 x^{4} - 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x (20 x^{4}) + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 27)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x (20 x^{4}) + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{20 x \cdot x^{4} + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{20 (x^{4} x) + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 2.7.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{20 (x^{4} x^{1}) + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{20 x^{4 + 1} + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{20 x^{5} + x (- 36 x^{2}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{20 x^{5} - 36 x \cdot x^{2} - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 (x^{2} x) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.7.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 (x^{2} x^{1}) - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{20 x^{5} - 36 x^{2 + 1} - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 x^{3} - 10 (4 x^{5}) - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 x^{3} - 40 x^{5} - 10 (- 12 x^{3}) - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 10$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 x^{3} - 40 x^{5} + 120 x^{3} - 10 \cdot 27}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.1.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $27$ .

$- \frac{20 x^{5} - 36 x^{3} - 40 x^{5} + 120 x^{3} - 270}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.2

Subtrahiere $40 x^{5}$ von $20 x^{5}$ .

$- \frac{- 20 x^{5} - 36 x^{3} + 120 x^{3} - 270}{x^{11}}$

Schritt 2.7.3.3

Addiere $- 36 x^{3}$ und $120 x^{3}$ .

$- \frac{- 20 x^{5} + 84 x^{3} - 270}{x^{11}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x^{5} + 84 x^{3} - 270$ heraus.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x^{5}$ heraus.

$- \frac{2 (- 10 x^{5}) + 84 x^{3} - 270}{x^{11}}$

Schritt 2.7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $84 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 (- 10 x^{5}) + 2 (42 x^{3}) - 270}{x^{11}}$

Schritt 2.7.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 270$ heraus.

$- \frac{2 (- 10 x^{5}) + 2 (42 x^{3}) + 2 (- 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 10 x^{5}) + 2 (42 x^{3})$ heraus.

$- \frac{2 (- 10 x^{5} + 42 x^{3}) + 2 (- 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 10 x^{5} + 42 x^{3}) + 2 (- 135)$ heraus.

$- \frac{2 (- 10 x^{5} + 42 x^{3} - 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 x^{5}$ heraus.

$- \frac{2 (- (10 x^{5}) + 42 x^{3} - 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $42 x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 (- (10 x^{5}) - (- 42 x^{3}) - 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 x^{5}) - (- 42 x^{3})$ heraus.

$- \frac{2 (- (10 x^{5} - 42 x^{3}) - 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.8

Schreibe $- 135$ als $- 1 (135)$ um.

$- \frac{2 (- (10 x^{5} - 42 x^{3}) - 1 (135))}{x^{11}}$

Schritt 2.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 x^{5} - 42 x^{3}) - 1 (135)$ heraus.

$- \frac{2 (- (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135))}{x^{11}}$

Schritt 2.7.10

Schreibe $- (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)$ als $- 1 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135))}{x^{11}}$

Schritt 2.7.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)}{x^{11}}$

Schritt 2.7.13

Mutltipliziere $\frac{2 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)}{x^{11}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (10 x^{5} - 42 x^{3} + 135)}{x^{11}}$