Analysis Beispiele

$y = {(8 + \frac{2}{x})}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 8 + \frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 + \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 + \frac{2}{x}$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Schritt 1.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} {(8 + \frac{2}{x})}^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{- 8}{x^{2}}$ und ${(8 + \frac{2}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{8 {(\frac{8 x}{x} + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8 {(\frac{8 x + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2 (1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (1)$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x + 1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{2 (4 x + 1)}{x}$ an.

$- \frac{8 \frac{{(2 (4 x + 1))}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.5

Wende die Produktregel auf $2 (4 x + 1)$ an.

$- \frac{8 \frac{2^{3} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{8 \frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $8$ und $\frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{8 (8 {(4 x + 1)}^{3})}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{\frac{8^{2} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.3.8

Kombinieren.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Schritt 1.3.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.9.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Schritt 1.3.9.2

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $64 {(4 x + 1)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(4 x + 1)}^{3}$ und $g (x) = x^{5}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.2

Kombiniere $- 64$ und $\frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2})) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 x^{5} {(4 x + 1)}^{2}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.2

Schreibe ${(4 x + 1)}^{2}$ als $(4 x + 1) (4 x + 1)$ um.

$- \frac{64 (12 x^{5} ((4 x + 1) (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3

Multipliziere $(4 x + 1) (4 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 8 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2}) + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.7.1

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 (x^{2} x^{5}) + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{2 + 5} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.1.3

Addiere $2$ und $5$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.7.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x \cdot x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 2.6.2.7.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x^{1} x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{1 + 5} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.3

Addiere $1$ und $5$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.4

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 96 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (192 x^{7}) + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.9.1

Mutltipliziere $192$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9.2

Mutltipliziere $96$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.10

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.11.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.6

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.9

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.12

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 5 (64 x^{3}) - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.13.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.2

Mutltipliziere $48$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.14

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{3} x^{4} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.15.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.15.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 (x^{4} x^{3}) - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{4 + 3} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.1.3

Addiere $4$ und $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.15.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 (x^{4} x^{2}) - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{4 + 2} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.15.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.2.15.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x^{1}) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{4 + 1} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{5} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.16

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7}) + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.17.1

Mutltipliziere $- 320$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.2

Mutltipliziere $- 240$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.3

Mutltipliziere $- 60$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.18

Subtrahiere $20480 x^{7}$ von $12288 x^{7}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.19

Subtrahiere $15360 x^{6}$ von $6144 x^{6}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} + 768 x^{5} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.20

Subtrahiere $3840 x^{5}$ von $768 x^{5}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21

Schreibe $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.2.21.1

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.6.2.21.1.1

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 8192 x^{7}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.2

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 9216 x^{6}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.3

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 3072 x^{5}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.4

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 320 x^{4}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.5

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2})$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.6

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.7

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.2

Faktorisiere $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.6.2.21.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Schritt 2.6.2.21.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0078125, \pm 0.5, \pm 0.015625, \pm 0.25, \pm 0.03125, \pm 0.125, \pm 0.0625, \pm 5, \pm 0.0390625, \pm 2.5, \pm 0.078125, \pm 1.25, \pm 0.15625, \pm 0.625, \pm 0.3125$

Schritt 2.6.2.21.2.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.6.2.21.2.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$- 128 {(- 0.25)}^{3} - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$- 128 \cdot - 0.015625 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.3

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 0.015625$ .

$2 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$2 - 144 \cdot 0.0625 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.5

Mutltipliziere $- 144$ mit $0.0625$ .

$2 - 9 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.6

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$- 7 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.7

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 0.25$ .

$- 7 + 12 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.8

Addiere $- 7$ und $12$ .

$5 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.9

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0$

Schritt 2.6.2.21.2.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5}{4 x + 1}$

Schritt 2.6.2.21.2.5

Dividiere $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 2.6.2.21.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$128 x^{3}$

$144 x^{2}$

$48 x$

$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 128 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				-	$32 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			-	$128 x^{3}$	-	$32 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 128 x^{3} - 32 x^{2}$

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 112 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$112 x^{2}$	-	$28 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 112 x^{2} - 28 x$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x - 5$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$
										$0$

Schritt 2.6.2.21.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 32 x^{2} - 28 x - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.6

Schreibe $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ als eine Menge von Faktoren.

$- \frac{64 x^{4} ((4 x + 1) (- 32 x^{2} - 28 x - 5))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

$- \frac{64 x^{4} (4 x + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.6.2.21.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) - 1 (- 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 4 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.4

Schreibe $- (- 4 x - 1)$ als $- 1 (- 4 x - 1)$ um.

$- \frac{64 x^{4} (- 1 (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.5

Potenziere $- 4 x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} (- 4 x - 1)) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.6

Potenziere $- 4 x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} {(- 4 x - 1)}^{1}) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{1 + 1} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- \frac{- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{10}$ .

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Schritt 2.6.3.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)$ heraus.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.4

Mutltipliziere $\frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$