Analysis Beispiele

$f (x, y) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} + 7 x + 11 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.4

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + \frac{d}{d x} [11 y]$

Schritt 1.6

Da $11 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + 7 + 0$

Schritt 1.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.1

Addiere $4 x + 3 y$ und $0$ .

$4 x + 3 y + 7 + 0$

Schritt 1.7.2

Addiere $4 x + 3 y + 7$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3 y + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0 + 0$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $4$ und $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = 4$