Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{- 2}$ aus $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{- 2}$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{- 2}$ aus $- 7 x^{- 2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x^{- 2}$ aus $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

Schritt 1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

Schritt 1.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{7} - 7$ und $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.6

Differenziere.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{7} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{7}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.6.7

Addiere $21 x^{6}$ und $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.7

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.7.3

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.8

Bringe $21$ auf die linke Seite von $x^{10}$ .

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 1.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.10.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.10.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $21 x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.10.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Schritt 1.10.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ heraus.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Schritt 1.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Schritt 1.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Schritt 1.12.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Schritt 1.12.2.2

Subtrahiere $12 x^{7}$ von $21 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{7} + 28$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{7}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.6

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $63 x^{6}$ und $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $6$ und $5$ .

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4

Bringe $63$ auf die linke Seite von $x^{11}$ .

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $63 x^{11}$ heraus.

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ heraus.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $28$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Schritt 2.8.2.2

Subtrahiere $45 x^{7}$ von $63 x^{7}$ .

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{7} - 140$ heraus.

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Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{7}$ heraus.

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

Schritt 2.8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 140$ heraus.

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

Schritt 2.8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$