Analysis Beispiele

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.10

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (θ)$ nach $θ$ gleich $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$