Analysis Beispiele

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Schritt 2.3.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Schritt 2.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.6

Kombinieren.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.7

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.7.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.7.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Schritt 2.4.2.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.4

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.5

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.6

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Schritt 2.4.3.7

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$