Analysis Beispiele

$g' (x) = (2 x + 3) (5 x - 7)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x + 3$ und $g (x) = 5 x - 7$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 7] + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(2 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x + 3) (5 + 0) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$(2 x + 3) \cdot 5 + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $2 x + 3$ .

$5 \cdot (2 x + 3) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + 0)$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) \cdot 2$

Schritt 1.2.12.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x - 7$ .

$5 (2 x + 3) + 2 \cdot (5 x - 7)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x - 7)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Schritt 1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$10 x + 15 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 x + 15 + 10 x + 2 \cdot - 7$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$10 x + 15 + 10 x - 14$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $10 x$ und $10 x$ .

$20 x + 15 - 14$

Schritt 1.3.3.6

Subtrahiere $14$ von $15$ .

$f' (x) = 20 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $20$ und $0$ .

$f'' (x) = 20$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g' (x)$ nach $x$ ist $20$ .

$20$