Analysis Beispiele

$y = 3 x - 6 \tan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 6 \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \tan (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 - 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 - 6 \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 6 \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \sec^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$0 - 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 6 (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$0 - 6 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 - 6 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$0 - 6 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$0 - 6 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 6 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$0 - 6 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$0 - 12 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $12 \sec^{2} (x) \tan (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 12 \sec^{2} (x) \tan (x)$