Analysis Beispiele

$f' (p) = \frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} (7 p^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700]$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d p} [\frac{1}{p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{p}$ und $14700$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{14700}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.3

Da $14700$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $\frac{14700}{p}$ nach $p$ gleich $14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}]$ .

$14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{1}{p}$ als $p^{- 1}$ um.

$14700 \frac{d}{d p} [p^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$14700 (- p^{- 2}) + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $14700$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{1}{p} \cdot (7 p^{2})]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 \frac{1}{p} \cdot p^{2}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{p}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7}{p} \cdot p^{2}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{- 7}{p}$ und $p^{2}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p^{2}}{p}]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $p^{2}$ und $p$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $p$ aus $- 7 p^{2}$ heraus.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p}]$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p^{1}}]$

Schritt 1.3.5.2.2

Faktorisiere $p$ aus $p^{1}$ heraus.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Schritt 1.3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Schritt 1.3.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p}{1}]$

Schritt 1.3.5.2.5

Dividiere $- 7 p$ durch $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 p]$

Schritt 1.3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 7 p$ nach $p$ gleich $- 7 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \frac{d}{d p} [p]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14700 \frac{1}{p^{2}} - 7$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 14700$ und $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\frac{- 14700}{p^{2}} - 7$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (p) = - \frac{14700}{p^{2}} - 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{14700}{p^{2}} - 7$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 14700$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{14700}{p^{2}}$ nach $p$ gleich $- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}]$ .

$- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{p^{2}}$ als ${(p^{2})}^{- 1}$ um.

$- 14700 \frac{d}{d p} [{(p^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{- 1}$ und $g (p) = p^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $p^{2}$ .

$- 14700 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 14700 (- u^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $p^{2}$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 14700 (- p^{2 \cdot - 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 14700 (- p^{- 4} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 4} p) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.7

Potenziere $p$ mit $1$ .

$- 14700 (- 2 (p^{1} p^{- 4})) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 14700 (- 2 p^{1 - 4}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 3}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 14700$ .

$29400 p^{- 3} + \frac{d}{d p} [- 7]$

Schritt 2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$29400 p^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$29400 \frac{1}{p^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $29400$ und $\frac{1}{p^{3}}$ .

$\frac{29400}{p^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{29400}{p^{3}}$ und $0$ .

$f'' (p) = \frac{29400}{p^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f' (p)$ nach $p$ ist $\frac{29400}{p^{3}}$ .

$\frac{29400}{p^{3}}$