Analysis Beispiele

$P' (t) = \frac{d}{d t} {(0.97)}^{t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d t} [\frac{d}{d t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

Schritt 1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und ${(0.97)}^{t}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(0.97)}^{t}}{t}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = {0.97}^{t}$ und $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}] - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $0.97$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \cdot 1}{t^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - 1 \cdot {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot {0.97}^{t}$ als $- {0.97}^{t}$ um.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}$ um.

$\frac{t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere ${0.97}^{t}$ aus ${0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere ${0.97}^{t}$ aus ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ heraus.

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere ${0.97}^{t}$ aus $- {0.97}^{t}$ heraus.

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere ${0.97}^{t}$ aus ${0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1$ heraus.

$f' (t) = \frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = {0.97}^{t}$ und $g (t) = t \ln (0.97) - 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t \ln (0.97) - 1] + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t \ln (0.97) - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.2

Da $\ln (0.97)$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $t \ln (0.97)$ nach $t$ gleich $\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $\ln (0.97)$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + 0) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.6

Addiere $\ln (0.97)$ und $0$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $0.97$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) ({0.97}^{t} \ln (0.97))) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) (2 t)}{t^{4}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ heraus.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

Schritt 2.6.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ heraus.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

Schritt 2.6.2.2.3

Faktorisiere $t$ aus $t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))$ heraus.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} - 1 \cdot {0.97}^{t}) \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Schritt 2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $t ({0.97}^{t} \ln (0.97))$ und $t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ neu an.

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} t \ln (0.97) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.1.2

Subtrahiere ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ von ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ .

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + 0 - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.1.3

Addiere $t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ und $0$ .

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t (t \cdot {0.97}^{t}) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.2.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) (t \cdot t) \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.3

Multipliziere $\ln (0.97) \ln (0.97)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.2.3.1

Potenziere $\ln (0.97)$ mit $1$ .

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.3.2

Potenziere $\ln (0.97)$ mit $1$ .

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln^{1} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\ln (0.97)}^{1 + 1} t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.4

Vereinfache $- 2 \ln (0.97)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + {0.97}^{t} (t (- \ln ({0.97}^{2}))) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln ({0.97}^{2}) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.6

Potenziere $0.97$ mit $2$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Schritt 2.8.5.3

Stelle die Faktoren in $\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}$ um.

$\frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Schritt 2.8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Schritt 2.8.7

Stelle die Faktoren in $\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$ um.

$f'' (t) = \frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $P' (t)$ nach $t$ ist $\frac{t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409)) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$ .

$\frac{t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409)) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$