Analysis Beispiele

$w = (\frac{4 + 9 z}{3 z}) (6 - z)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = \frac{4 + 9 z}{3 z}$ und $g (z) = 6 - z$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [6 - z] + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [6] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (\frac{d}{d z} [6] + \frac{d}{d z} [- z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [- z] + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (- 1 \cdot 1) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \cdot - 1 + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $\frac{4 + 9 z}{3 z}$ und $- 1$ .

$\frac{(4 + 9 z) \cdot - 1}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $4 + 9 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (4 + 9 z)}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.6.3.2

Schreibe $- 1 (4 + 9 z)$ als $- (4 + 9 z)$ um.

$\frac{- (4 + 9 z)}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Schritt 1.2.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 + 9 z}{3 z}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{z}]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) (\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{z}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = 4 + 9 z$ und $g (z) = z$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [4 + 9 z] - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + 9 z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [9 z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.2

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [9 z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [9 z] - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.4

Da $9$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $9 z$ nach $z$ gleich $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \frac{d}{d z} [z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \cdot 1) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \cdot 9 - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $z$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 \cdot z - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (4 + 9 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Schritt 1.4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2}}$

Schritt 1.4.8.2

Mutltipliziere $\frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.4.8.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $z^{2}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 \cdot z^{2}}$

Schritt 1.5

Um $(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} \cdot \frac{3 z}{3 z}$

Schritt 1.6

Kombiniere $(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ und $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + \frac{(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Schritt 1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Schritt 1.8

Kombiniere $3$ und $\frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z^{2}} z}{3 z}$

Schritt 1.9

Kombiniere $z$ und $\frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{3 z^{2}}}{3 z}$

Schritt 1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $z$ aus $3 z^{2}$ heraus.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Schritt 1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Schritt 1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 4 - 9 z}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.3

Subtrahiere $9 z$ von $9 z$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{0 - 4}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.3.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 - 9 z + 6 (- \frac{4}{z}) - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.6

Multipliziere $6 (- \frac{4}{z})$ .

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Schritt 1.12.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{- 4 - 9 z - 6 \frac{4}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.6.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{z}$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 6 \cdot 4}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.6.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 1.12.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{z}$ in den Zähler.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - z \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.2

Faktorisiere $z$ aus $- z$ heraus.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - 1 \cdot - 4}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + 4}{3 z}$

Schritt 1.12.3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 4 - 9 z - \frac{24}{z} + 4}{3 z}$

Schritt 1.12.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 - 9 z - \frac{24}{z} + 4$ .

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Schritt 1.12.3.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{- 9 z - \frac{24}{z} + 0}{3 z}$

Schritt 1.12.3.2.2

Addiere $- 9 z - \frac{24}{z}$ und $0$ .

$\frac{- 9 z - \frac{24}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9 z - \frac{24}{z}$ und $3$ .

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Schritt 1.12.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 z$ heraus.

$\frac{3 (- 3 z) - \frac{24}{z}}{3 z}$

Schritt 1.12.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{24}{z}$ heraus.

$\frac{3 (- 3 z) + 3 (- \frac{8}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 z) + 3 (- \frac{8}{z})$ heraus.

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 z$ heraus.

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 (z)}$

Schritt 1.12.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 z}$

Schritt 1.12.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 z - \frac{8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.5.1

Um $- 3 z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{- 3 z \cdot \frac{z}{z} - \frac{8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.2

Kombiniere $- 3 z$ und $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z}{z} - \frac{8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z - 8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.4

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.5.4.1

Bewege $z$ .

$\frac{\frac{- 3 (z \cdot z) - 8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.5.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{\frac{- 3 z^{2} - 8}{z}}{z}$

Schritt 1.12.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Schritt 1.12.7

Multipliziere $\frac{- 3 z^{2} - 8}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

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Schritt 1.12.7.1

Mutltipliziere $\frac{- 3 z^{2} - 8}{z}$ mit $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z \cdot z}$

Schritt 1.12.7.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1} z}$

Schritt 1.12.7.3

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1} z^{1}}$

Schritt 1.12.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1 + 1}}$

Schritt 1.12.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{2}}$

Schritt 1.12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 z^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2}) - 8}{z^{2}}$

Schritt 1.12.9

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- (3 z^{2}) - 1 (8)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 z^{2}) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (3 z^{2} + 8)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.11

Schreibe $- (3 z^{2} + 8)$ als $- 1 (3 z^{2} + 8)$ um.

$\frac{- 1 (3 z^{2} + 8)}{z^{2}}$

Schritt 1.12.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (z) = - \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = - 1$ und $g (z) = \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}$ .

$- \frac{d}{d z} [\frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}] + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.2

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 z^{2} + 8$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]$ .

$- \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $3 z^{2}$ nach $z$ gleich $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- \frac{z^{2} (3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{z^{2} (3 (2 z) + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.6

Da $8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + 0) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.3.7

Addiere $6 z$ und $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4

Multipliziere $z^{2}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $z$ .

$- \frac{z \cdot z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$- \frac{z^{1} z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{z^{1 + 2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{z^{3} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $z^{3}$ .

$- \frac{6 \cdot z^{3} - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - (3 z^{2} + 8) (2 z)}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}$ mit $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + 0$

Schritt 2.9.2

Addiere $- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 z^{3} + (- 2 (3 z^{2}) - 2 \cdot 8) z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2}) z - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Multipliziere $z^{2}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.1.1

Bewege $z$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z \cdot z^{2})) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.10.3.1.1.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z^{1} z^{2})) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{1 + 2}) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{3}) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 16 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Subtrahiere $6 z^{3}$ von $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 16 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.3.3

Subtrahiere $16 z$ von $0$ .

$- \frac{- 16 z}{z^{4}}$

Schritt 2.10.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z$ und $z^{4}$ .

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Schritt 2.10.4.1.1

Faktorisiere $z$ aus $- 16 z$ heraus.

$- \frac{z \cdot - 16}{z^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.4.1.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{4}$ heraus.

$- \frac{z \cdot - 16}{z \cdot z^{3}}$

Schritt 2.10.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{z \cdot - 16}{z \cdot z^{3}}$

Schritt 2.10.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 16}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{16}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{16}{z^{3}}$

Schritt 2.10.4.4

Mutltipliziere $\frac{16}{z^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (z) = \frac{16}{z^{3}}$