Analysis Beispiele

$f (θ) = \sec^{2} (4 θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \sec (4 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (4 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (4 θ)$ .

$2 \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sec (θ)$ und $g (θ) = 4 θ$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 θ$ .

$2 \sec (4 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (4 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 θ$ .

$2 \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.3

Potenziere $\sec (4 θ)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (4 θ) \sec (4 θ)) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.4

Potenziere $\sec (4 θ)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (4 θ) \sec^{1} (4 θ)) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (4 θ)}^{1 + 1} (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sec^{2} (4 θ) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 1.7

Da $4$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $4 θ$ nach $θ$ gleich $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) \cdot 1$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (θ) = 8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)$ nach $θ$ gleich $8 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)]$ .

$8 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \sec^{2} (4 θ)$ und $g (θ) = \tan (4 θ)$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (4 θ)] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \tan (θ)$ und $g (θ) = 4 θ$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 θ$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 θ$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.4

Multipliziere $\sec^{2} (4 θ)$ mit $\sec^{2} (4 θ)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $\sec^{2} (4 θ)$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 ({\sec (4 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $4$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $4 θ$ nach $θ$ gleich $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) (4 \cdot 1) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) \cdot 4 + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.5.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{4} (4 θ)$ .

$8 (4 \cdot \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \sec (4 θ)$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (2 \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \cdot \tan (4 θ) \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sec (θ)$ und $g (θ) = 4 θ$ .

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Schritt 2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $4 θ$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.8.2

Die Ableitung von $\sec (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $4 θ$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.9

Potenziere $\tan (4 θ)$ mit $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 (\tan^{1} (4 θ) \tan (4 θ)) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.10

Potenziere $\tan (4 θ)$ mit $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 (\tan^{1} (4 θ) \tan^{1} (4 θ)) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 {\tan (4 θ)}^{1 + 1} \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Schritt 2.13

Potenziere $\sec (4 θ)$ mit $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) (\sec^{1} (4 θ) \sec (4 θ)) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 2.14

Potenziere $\sec (4 θ)$ mit $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) (\sec^{1} (4 θ) \sec^{1} (4 θ)) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 2.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) {\sec (4 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 2.16

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Schritt 2.17

Da $4$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $4 θ$ nach $θ$ gleich $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Schritt 2.18

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 2.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \cdot 1)$

Schritt 2.20

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Schritt 2.21

Vereinfache.

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Schritt 2.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ)) + 8 (8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Schritt 2.21.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.21.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 \sec^{4} (4 θ) + 8 (8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Schritt 2.21.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$32 \sec^{4} (4 θ) + 64 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ)$

Schritt 2.21.3

Stelle die Terme um.

$f'' (θ) = 64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$ .

$64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$