Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{9} \cot (3 x - 5)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9} \cdot \cot (3 x - 5)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 5)]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 5)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 3 x - 5$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 5$ .

$\frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 5$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\csc^{2} (3 x - 5)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} (3 + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9} \cdot 3$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9}$

Schritt 1.3.7.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{9}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 x - 5)}{9}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \csc^{2} (3 x - 5)$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 5))}{9}$

Schritt 1.3.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.7.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 5))}{3 (3)}$

Schritt 1.3.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 5))}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \csc^{2} (3 x - 5)}{3}$

Schritt 1.3.7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{\csc^{2} (3 x - 5)}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 5)]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 5)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (3 x - 5)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (3 x - 5)$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (3 x - 5)$ .

$- \frac{1}{3} (2 \csc (3 x - 5) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)])$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) (\csc (3 x - 5) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} (\csc (3 x - 5) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)])$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\csc (3 x - 5)$ und $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 5) \cdot - 2}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)]$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\csc (3 x - 5)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (3 x - 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)]$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 5)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 3 x - 5$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x - 5$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x - 5$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} (- \csc (3 x - 5) \cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} (\csc (3 x - 5) \cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{2 \csc (3 x - 5)}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \csc (3 x - 5)}{3} (\csc (3 x - 5) \cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\csc (3 x - 5)$ und $\frac{2 \csc (3 x - 5)}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 5) (2 \csc (3 x - 5))}{3} (\cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.6

Potenziere $\csc (3 x - 5)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 5) \csc (3 x - 5))}{3} (\cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.7

Potenziere $\csc (3 x - 5)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 5) \csc^{1} (3 x - 5))}{3} (\cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\csc (3 x - 5)}^{1 + 1}}{3} (\cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (\cot (3 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x - 5])$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\cot (3 x - 5)$ und $\frac{2 \csc^{2} (3 x - 5)}{3}$ .

$\frac{\cot (3 x - 5) (2 \csc^{2} (3 x - 5))}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 2.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cot (3 x - 5)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.14

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} (3 + 0)$

Schritt 2.15

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.15.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.15.2

Kombiniere $\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3}$ und $3$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5) \cdot 3}{3}$

Schritt 2.15.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{3}$

Schritt 2.15.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.15.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)$ heraus.

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5))}{3}$

Schritt 2.15.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5))}{3 (1)}$

Schritt 2.15.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5))}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.15.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)}{1}$

Schritt 2.15.4.2.4

Dividiere $2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)$ durch $1$ .

$2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)$

Schritt 2.15.5

Stelle die Faktoren von $2 \cot (3 x - 5) \csc^{2} (3 x - 5)$ um.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (3 x - 5) \cot (3 x - 5)$