Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{4}{7}} + 3 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{4}{7}} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}} + 3$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{7}}} + 3$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 3$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{4}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}]$ .

$\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}$ als ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{4}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{3}{7} \cdot - 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{3}{7} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $- 2$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{3 \cdot - 2}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{7} (- x^{\frac{- 6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- x^{- \frac{6}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ und $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{4}{7}} x^{- \frac{6}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{4}{7}}$ mit $x^{- \frac{6}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 (x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{4}{7}})}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{6}{7} - \frac{4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{\frac{- 10}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{7} (- \frac{3 x^{- \frac{10}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{10}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{7} (- \frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}}$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{12}{49 x^{\frac{10}{7}}}$