Analysis Beispiele

$y = x^{3} + 7 x - 1 (5 x + 2)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 7 x - 1 (5 x + 2)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 7 + \frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1 (5 x + 2)]$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe $- 1 (5 x + 2)$ als $- (5 x + 2)$ um.

$3 x^{2} + 7 + \frac{d}{d x} [- (5 x + 2)]$

Schritt 1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (5 x + 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [5 x + 2]$ .

$3 x^{2} + 7 - \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 x^{2} + 7 - (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 \cdot 1 + 0)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 7 - (5 + 0)$

Schritt 1.3.8

Addiere $5$ und $0$ .

$3 x^{2} + 7 - 1 \cdot 5$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 x^{2} + 7 - 5$

Schritt 1.4

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f''' (x) = 6$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$