Analysis Beispiele

$y = \tan (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec^{2} (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.5

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.6

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ und $g (x) = \tan (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.4

Multipliziere $\sec^{2} (2 x)$ mit $\sec^{2} (2 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $\sec^{2} (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{4} (2 x)$ .

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\sec (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.9

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.10

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.13

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.14

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.18

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1)$

Schritt 3.20

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Schritt 3.21

Vereinfache.

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Schritt 3.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (2 \sec^{4} (2 x)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Schritt 3.21.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.21.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Schritt 3.21.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 32 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Schritt 3.21.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 16 \sec^{4} (2 x)$