Analysis Beispiele

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{4}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{3}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x^{2}$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c x$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 1.6

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $d$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Addiere $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ und $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Schritt 1.7.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{3}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.3

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} a$ nach $x$ gleich $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 b x]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $2 b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 b x$ nach $x$ gleich $2 b \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $108 x^{2}$ und $0$ .

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $108 x^{2}$ nach $x$ gleich $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $108$ .

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Schritt 3.3

Da $2 b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 a x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $6 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 a x$ nach $x$ gleich $6 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$216 x + 0 + 6 a$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $216 x$ und $0$ .

$216 x + 6 a$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 6 a + 216 x$