Analysis Beispiele

$y = \sin (9 x^{5})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{5}$ .

$\cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\cos (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})$

Schritt 1.2.3.2

Stelle die Faktoren von $\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})$ um.

$f' (x) = 45 x^{4} \cos (9 x^{5})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45 x^{4} \cos (9 x^{5})$ nach $x$ gleich $45 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (9 x^{5})]$ .

$45 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \cos (9 x^{5})$ .

$45 (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (9 x^{5})] + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{5}$ .

$45 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$45 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{5}$ .

$45 (x^{4} (- \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$45 (x^{4} (- \sin (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$45 (x^{4} (- 9 \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$45 (x^{4} (- 9 \sin (9 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$45 (x^{4} (- 45 \sin (9 x^{5}) x^{4}) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x^{4}$ .

$45 (x^{4} x^{4} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$45 (x^{4 + 4} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.5.3

Addiere $4$ und $4$ .

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$45 (x^{8} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 45 (\cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Schritt 2.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $- 45$ mit $45$ .

$- 2025 (x^{8} (\sin (9 x^{5}))) + 45 (\cos (9 x^{5}) (4 x^{3}))$

Schritt 2.7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $45$ .

$- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 \cos (9 x^{5}) x^{3}$

Schritt 2.7.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 x^{3} \cos (9 x^{5})$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5}) + 180 x^{3} \cos (9 x^{5})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2025$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2025 x^{8} \sin (9 x^{5})$ nach $x$ gleich $- 2025 \frac{d}{d x} [x^{8} \sin (9 x^{5})]$ .

$- 2025 \frac{d}{d x} [x^{8} \sin (9 x^{5})] + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = \sin (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{8} \frac{d}{d x} [\sin (9 x^{5})] + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$- 2025 (x^{8} (\cos (9 x^{5}) (45 x^{4})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.8

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.8.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 2025 (x^{4} x^{8} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2025 (x^{4 + 8} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $4$ und $8$ .

$- 2025 (x^{12} (\cos (9 x^{5}) \cdot (45)) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.2.9

Bringe $45$ auf die linke Seite von $\cos (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [180 x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $180 x^{3} \cos (9 x^{5})$ nach $x$ gleich $180 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (9 x^{5})]$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (9 x^{5})]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (9 x^{5})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (9 x^{5})] + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 9 x^{5}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x^{5}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [9 x^{5}]) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \cos (9 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (9 (5 x^{4}))) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- \sin (9 x^{5}) (45 x^{4})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $45$ mit $- 1$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{3} (- 45 \sin (9 x^{5}) x^{4}) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.9.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{4} x^{3} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{4 + 3} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.9.3

Addiere $4$ und $3$ .

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5})) + \sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5})) + \cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2025 (x^{12} (45 \cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $45$ mit $- 2025$ .

$- 91125 (x^{12} (\cos (9 x^{5}))) - 2025 (\sin (9 x^{5}) (8 x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2025$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 (\sin (9 x^{5}) (x^{7})) + 180 (x^{7} (- 45 \sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.3

Mutltipliziere $- 45$ mit $180$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7} - 8100 (x^{7} (\sin (9 x^{5}))) + 180 (\cos (9 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 3.4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $180$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7} - 8100 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 (\cos (9 x^{5}) (x^{2}))$

Schritt 3.4.3.5

Subtrahiere $8100 x^{7} \sin (9 x^{5})$ von $- 16200 \sin (9 x^{5}) x^{7}$ .

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Schritt 3.4.3.5.1

Bewege $\sin (9 x^{5})$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 16200 x^{7} \sin (9 x^{5}) - 8100 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 \cos (9 x^{5}) x^{2}$

Schritt 3.4.3.5.2

Subtrahiere $8100 x^{7} \sin (9 x^{5})$ von $- 16200 x^{7} \sin (9 x^{5})$ .

$- 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 24300 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 \cos (9 x^{5}) x^{2}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - 91125 x^{12} \cos (9 x^{5}) - 24300 x^{7} \sin (9 x^{5}) + 540 x^{2} \cos (9 x^{5})$