Analysis Beispiele

$y = {(8 + \frac{2}{x})}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 8 + \frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 + \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 + \frac{2}{x}$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + \frac{2}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Schritt 1.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} {(8 + \frac{2}{x})}^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{- 8}{x^{2}}$ und ${(8 + \frac{2}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{8 {(\frac{8 x}{x} + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8 {(\frac{8 x + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2 (1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (1)$ heraus.

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x + 1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{2 (4 x + 1)}{x}$ an.

$- \frac{8 \frac{{(2 (4 x + 1))}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.5

Wende die Produktregel auf $2 (4 x + 1)$ an.

$- \frac{8 \frac{2^{3} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{8 \frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $8$ und $\frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{8 (8 {(4 x + 1)}^{3})}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{\frac{8^{2} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.3.8

Kombinieren.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Schritt 1.3.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.9.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Schritt 1.3.9.2

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $64 {(4 x + 1)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(4 x + 1)}^{3}$ und $g (x) = x^{5}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.2

Kombiniere $- 64$ und $\frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2})) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 x^{5} {(4 x + 1)}^{2}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.2

Schreibe ${(4 x + 1)}^{2}$ als $(4 x + 1) (4 x + 1)$ um.

$- \frac{64 (12 x^{5} ((4 x + 1) (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3

Multipliziere $(4 x + 1) (4 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 8 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2}) + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.7.1

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 (x^{2} x^{5}) + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{2 + 5} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.1.3

Addiere $2$ und $5$ .

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.7.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x \cdot x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 2.6.2.7.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x^{1} x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{1 + 5} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3.3

Addiere $1$ und $5$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.4

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$- \frac{64 (192 x^{7} + 96 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{64 (192 x^{7}) + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.9.1

Mutltipliziere $192$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9.2

Mutltipliziere $96$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.10

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.11.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.6

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.9

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.11.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.12

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 5 (64 x^{3}) - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.13.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.2

Mutltipliziere $48$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 5$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.13.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5) x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.14

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{3} x^{4} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.15.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.15.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 (x^{4} x^{3}) - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{4 + 3} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.1.3

Addiere $4$ und $3$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.15.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 (x^{4} x^{2}) - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{4 + 2} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.2.15.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.2.15.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x^{1}) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{4 + 1} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.15.3.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{5} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.16

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7}) + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.17.1

Mutltipliziere $- 320$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.2

Mutltipliziere $- 240$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.3

Mutltipliziere $- 60$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.17.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $64$ .

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.18

Subtrahiere $20480 x^{7}$ von $12288 x^{7}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.19

Subtrahiere $15360 x^{6}$ von $6144 x^{6}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} + 768 x^{5} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.20

Subtrahiere $3840 x^{5}$ von $768 x^{5}$ .

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21

Schreibe $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.2.21.1

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.6.2.21.1.1

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 8192 x^{7}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.2

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 9216 x^{6}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.3

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 3072 x^{5}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) - 320 x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.4

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $- 320 x^{4}$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.5

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2})$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.6

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.1.7

Faktorisiere $64 x^{4}$ aus $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.2

Faktorisiere $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.6.2.21.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Schritt 2.6.2.21.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0078125, \pm 0.5, \pm 0.015625, \pm 0.25, \pm 0.03125, \pm 0.125, \pm 0.0625, \pm 5, \pm 0.0390625, \pm 2.5, \pm 0.078125, \pm 1.25, \pm 0.15625, \pm 0.625, \pm 0.3125$

Schritt 2.6.2.21.2.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.6.2.21.2.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$- 128 {(- 0.25)}^{3} - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$- 128 \cdot - 0.015625 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.3

Mutltipliziere $- 128$ mit $- 0.015625$ .

$2 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$2 - 144 \cdot 0.0625 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.5

Mutltipliziere $- 144$ mit $0.0625$ .

$2 - 9 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.6

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$- 7 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.7

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 0.25$ .

$- 7 + 12 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.8

Addiere $- 7$ und $12$ .

$5 - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.3.9

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0$

Schritt 2.6.2.21.2.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5}{4 x + 1}$

Schritt 2.6.2.21.2.5

Dividiere $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 2.6.2.21.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$128 x^{3}$

$144 x^{2}$

$48 x$

$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 128 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				-	$32 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			-	$128 x^{3}$	-	$32 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 128 x^{3} - 32 x^{2}$

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$

Schritt 2.6.2.21.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 112 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$112 x^{2}$	-	$28 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 112 x^{2} - 28 x$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$

Schritt 2.6.2.21.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x - 5$

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$

Schritt 2.6.2.21.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$
										$0$

Schritt 2.6.2.21.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 32 x^{2} - 28 x - 5$

Schritt 2.6.2.21.2.6

Schreibe $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ als eine Menge von Faktoren.

$- \frac{64 x^{4} ((4 x + 1) (- 32 x^{2} - 28 x - 5))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

$- \frac{64 x^{4} (4 x + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.6.2.21.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) - 1 (- 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 4 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.4

Schreibe $- (- 4 x - 1)$ als $- 1 (- 4 x - 1)$ um.

$- \frac{64 x^{4} (- 1 (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.5

Potenziere $- 4 x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} (- 4 x - 1)) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.6

Potenziere $- 4 x - 1$ mit $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} {(- 4 x - 1)}^{1}) (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{1 + 1} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.21.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- \frac{- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{10}$ .

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Schritt 2.6.3.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)$ heraus.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.3.4

Mutltipliziere $\frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [\frac{{(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{{(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}]$

Schritt 3.2

$64 \frac{x^{6} \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)] - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{x^{6} \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)] - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$64 \frac{x^{6} \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)] - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(- 4 x - 1)}^{2}$ und $g (x) = 8 x + 5$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 5] + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [5]) + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} (8 + 0) + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.6.1

Addiere $8$ und $0$ .

$64 \frac{x^{6} ({(- 4 x - 1)}^{2} \cdot 8 + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.5.6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${(- 4 x - 1)}^{2}$ .

$64 \frac{x^{6} (8 \cdot {(- 4 x - 1)}^{2} + (8 x + 5) \frac{d}{d x} [{(- 4 x - 1)}^{2}]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - 4 x - 1$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 x - 1$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + (8 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 4 x - 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + (8 x + 5) (2 u \frac{d}{d x} [- 4 x - 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x - 1$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + (8 x + 5) (2 (- 4 x - 1) \frac{d}{d x} [- 4 x - 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7

Differenziere.

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Schritt 3.7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $8 x + 5$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 \cdot (8 x + 5) (- 4 x - 1) \frac{d}{d x} [- 4 x - 1]) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) (- 4 + \frac{d}{d x} [- 1])) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) (- 4 + 0)) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.7.1

Addiere $- 4$ und $0$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + 2 (8 x + 5) (- 4 x - 1) \cdot - 4) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 3.7.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Schritt 3.7.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.9.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$64 \frac{x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) x^{5}}{x^{12}}$

Schritt 3.7.9.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) x^{5}$ heraus.

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Schritt 3.7.9.2.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{6} (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1))$ heraus.

$64 \frac{x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1))) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) x^{5}}{x^{12}}$

Schritt 3.7.9.2.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5) x^{5}$ heraus.

$64 \frac{x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1))) + x^{5} (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{12}}$

Schritt 3.7.9.2.3

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1))) + x^{5} (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))$ heraus.

$64 \frac{x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{12}}$

Schritt 3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{12}$ heraus.

$64 \frac{x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{5} x^{7}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{x^{5} (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{5} x^{7}}$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$64 \frac{x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.9

Kombiniere $64$ und $\frac{x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{7}}$ .

$\frac{64 (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} - 8 (8 x + 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2} + (- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2}) + x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1)) - 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (x (8 {(- 4 x - 1)}^{2})) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{64 (8 x {(- 4 x - 1)}^{2}) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.2

Schreibe ${(- 4 x - 1)}^{2}$ als $(- 4 x - 1) (- 4 x - 1)$ um.

$\frac{64 (8 x ((- 4 x - 1) (- 4 x - 1))) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.3

Multipliziere $(- 4 x - 1) (- 4 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.10.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (8 x (- 4 x (- 4 x - 1) - 1 (- 4 x - 1))) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (8 x (- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x - 1))) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (8 x (- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.10.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.4.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{64 (8 x (- 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.4.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{64 (8 x (- 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{64 (8 x (- 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{64 (8 x (16 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{64 (8 x (16 x^{2} + 4 x - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{64 (8 x (16 x^{2} + 4 x + 4 x - 1 \cdot - 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{64 (8 x (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.4.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{64 (8 x (16 x^{2} + 8 x + 1)) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (8 x (16 x^{2}) + 8 x (8 x) + 8 x \cdot 1) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{64 (8 \cdot 16 x \cdot x^{2} + 8 x (8 x) + 8 x \cdot 1) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{64 (8 \cdot 16 x \cdot x^{2} + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 1) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{64 (8 \cdot 16 x \cdot x^{2} + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.7.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{64 (8 \cdot 16 (x^{2} x) + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{64 (8 \cdot 16 (x^{2} x^{1}) + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{64 (8 \cdot 16 x^{2 + 1} + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{64 (8 \cdot 16 x^{3} + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$\frac{64 (128 x^{3} + 8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.7.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{64 (128 x^{3} + 8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{64 (128 x^{3} + 8 \cdot 8 x^{2} + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.7.4

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{64 (128 x^{3} + 64 x^{2} + 8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{64 (128 x^{3}) + 64 (64 x^{2}) + 64 (8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.9.1

Mutltipliziere $128$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 64 (64 x^{2}) + 64 (8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.9.2

Mutltipliziere $64$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 64 (8 x) + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.9.3

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x ((- 8 (8 x) - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x ((- 64 x - 8 \cdot 5) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.10.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x ((- 64 x - 40) (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.11

Multipliziere $(- 64 x - 40) (- 4 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 x (- 4 x - 1) - 40 (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 x (- 4 x) - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x - 1))) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 x (- 4 x) - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 \cdot - 4 x \cdot x - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.12.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 \cdot - 4 (x \cdot x) - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (- 64 \cdot - 4 x^{2} - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 4$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2} - 64 x \cdot - 1 - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2} + 64 x - 40 (- 4 x) - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 40$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2} + 64 x + 160 x - 40 \cdot - 1)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.1.6

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2} + 64 x + 160 x + 40)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.12.2

Addiere $64 x$ und $160 x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2} + 224 x + 40)) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (x (256 x^{2}) + x (224 x) + x \cdot 40) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.14.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x \cdot x^{2} + x (224 x) + x \cdot 40) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.14.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x \cdot x^{2} + 224 x \cdot x + x \cdot 40) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.14.3

Bringe $40$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x \cdot x^{2} + 224 x \cdot x + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.15.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.15.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 (x^{2} x) + 224 x \cdot x + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.15.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 (x^{2} x^{1}) + 224 x \cdot x + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{2 + 1} + 224 x \cdot x + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{3} + 224 x \cdot x + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.15.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{3} + 224 (x \cdot x) + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.15.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{3} + 224 x^{2} + 40 \cdot x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{3} + 224 x^{2} + 40 x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 64 (256 x^{3}) + 64 (224 x^{2}) + 64 (40 x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.17.1

Mutltipliziere $256$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 64 (224 x^{2}) + 64 (40 x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.17.2

Mutltipliziere $224$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 64 (40 x) + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.17.3

Mutltipliziere $40$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.18

Schreibe ${(- 4 x - 1)}^{2}$ als $(- 4 x - 1) (- 4 x - 1)$ um.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 ((- 4 x - 1) (- 4 x - 1)) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.19

Multipliziere $(- 4 x - 1) (- 4 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 x (- 4 x - 1) - 1 (- 4 x - 1)) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x - 1)) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.20.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.20.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.20.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (- 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (16 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (16 x^{2} + 4 x - 1 (- 4 x) - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (16 x^{2} + 4 x + 4 x - 1 \cdot - 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.20.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 6 (16 x^{2} + 8 x + 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.21

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 ((- 6 (16 x^{2}) - 6 (8 x) - 6 \cdot 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.22

Vereinfache.

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Schritt 3.10.4.22.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 6$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 ((- 96 x^{2} - 6 (8 x) - 6 \cdot 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.22.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 ((- 96 x^{2} - 48 x - 6 \cdot 1) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.22.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 ((- 96 x^{2} - 48 x - 6) (8 x + 5))}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.23

Multipliziere $(- 96 x^{2} - 48 x - 6) (8 x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 x^{2} (8 x) - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.4.24.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 \cdot 8 x^{2} x - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.4.24.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.10.4.24.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 \cdot 8 x^{1 + 2} - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 96 \cdot 8 x^{3} - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $8$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 96 x^{2} \cdot 5 - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 96$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 48 x (8 x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 48 \cdot 8 x \cdot x - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.4.24.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 48 \cdot 8 (x \cdot x) - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 48 \cdot 8 x^{2} - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.7

Mutltipliziere $- 48$ mit $8$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 384 x^{2} - 48 x \cdot 5 - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 48$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 384 x^{2} - 240 x - 6 (8 x) - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 384 x^{2} - 240 x - 48 x - 6 \cdot 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.24.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 480 x^{2} - 384 x^{2} - 240 x - 48 x - 30)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.25

Subtrahiere $384 x^{2}$ von $- 480 x^{2}$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 864 x^{2} - 240 x - 48 x - 30)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.26

Subtrahiere $48 x$ von $- 240 x$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 30)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.27

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x + 64 (- 768 x^{3}) + 64 (- 864 x^{2}) + 64 (- 288 x) + 64 \cdot - 30}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.28

Vereinfache.

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Schritt 3.10.4.28.1

Mutltipliziere $- 768$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x - 49152 x^{3} + 64 (- 864 x^{2}) + 64 (- 288 x) + 64 \cdot - 30}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.28.2

Mutltipliziere $- 864$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x - 49152 x^{3} - 55296 x^{2} + 64 (- 288 x) + 64 \cdot - 30}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.28.3

Mutltipliziere $- 288$ mit $64$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x - 49152 x^{3} - 55296 x^{2} - 18432 x + 64 \cdot - 30}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.28.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 30$ .

$\frac{8192 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 16384 x^{3} + 14336 x^{2} + 2560 x - 49152 x^{3} - 55296 x^{2} - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.29

Addiere $8192 x^{3}$ und $16384 x^{3}$ .

$\frac{24576 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 14336 x^{2} + 2560 x - 49152 x^{3} - 55296 x^{2} - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.30

Subtrahiere $49152 x^{3}$ von $24576 x^{3}$ .

$\frac{- 24576 x^{3} + 4096 x^{2} + 512 x + 14336 x^{2} + 2560 x - 55296 x^{2} - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.31

Addiere $4096 x^{2}$ und $14336 x^{2}$ .

$\frac{- 24576 x^{3} + 18432 x^{2} + 512 x + 2560 x - 55296 x^{2} - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.32

Subtrahiere $55296 x^{2}$ von $18432 x^{2}$ .

$\frac{- 24576 x^{3} - 36864 x^{2} + 512 x + 2560 x - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.33

Addiere $512 x$ und $2560 x$ .

$\frac{- 24576 x^{3} - 36864 x^{2} + 3072 x - 18432 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.34

Subtrahiere $18432 x$ von $3072 x$ .

$\frac{- 24576 x^{3} - 36864 x^{2} - 15360 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35

Schreibe $- 24576 x^{3} - 36864 x^{2} - 15360 x - 1920$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.10.4.35.1

Faktorisiere $384$ aus $- 24576 x^{3} - 36864 x^{2} - 15360 x - 1920$ heraus.

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Schritt 3.10.4.35.1.1

Faktorisiere $384$ aus $- 24576 x^{3}$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3}) - 36864 x^{2} - 15360 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.2

Faktorisiere $384$ aus $- 36864 x^{2}$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3}) + 384 (- 96 x^{2}) - 15360 x - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.3

Faktorisiere $384$ aus $- 15360 x$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3}) + 384 (- 96 x^{2}) + 384 (- 40 x) - 1920}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.4

Faktorisiere $384$ aus $- 1920$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3}) + 384 (- 96 x^{2}) + 384 (- 40 x) + 384 (- 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.5

Faktorisiere $384$ aus $384 (- 64 x^{3}) + 384 (- 96 x^{2})$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3} - 96 x^{2}) + 384 (- 40 x) + 384 (- 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.6

Faktorisiere $384$ aus $384 (- 64 x^{3} - 96 x^{2}) + 384 (- 40 x)$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x) + 384 (- 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.1.7

Faktorisiere $384$ aus $384 (- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x) + 384 (- 5)$ heraus.

$\frac{384 (- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x - 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.4.35.2

Faktorisiere $- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x - 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.10.4.35.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Schritt 3.10.4.35.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625$

Schritt 3.10.4.35.2.3

Setze $- 0.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.10.4.35.2.3.1

Setze $- 0.25$ in das Polynom ein.

$- 64 {(- 0.25)}^{3} - 96 {(- 0.25)}^{2} - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.2

Potenziere $- 0.25$ mit $3$ .

$- 64 \cdot - 0.015625 - 96 {(- 0.25)}^{2} - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 0.015625$ .

$1 - 96 {(- 0.25)}^{2} - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.4

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$1 - 96 \cdot 0.0625 - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.5

Mutltipliziere $- 96$ mit $0.0625$ .

$1 - 6 - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.6

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$- 5 - 40 \cdot - 0.25 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.7

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 0.25$ .

$- 5 + 10 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.8

Addiere $- 5$ und $10$ .

$5 - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.3.9

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0$

Schritt 3.10.4.35.2.4

Da $- 0.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x - 5}{4 x + 1}$

Schritt 3.10.4.35.2.5

Dividiere $- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x - 5$ durch $4 x + 1$ .

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Schritt 3.10.4.35.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$1$

$64 x^{3}$

$96 x^{2}$

$40 x$

$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 64 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				-	$16 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$16 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			-	$64 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Schritt 3.10.4.35.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 64 x^{3} - 16 x^{2}$

			-	$16 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$

Schritt 3.10.4.35.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$16 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$

Schritt 3.10.4.35.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$16 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$

Schritt 3.10.4.35.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 80 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$

Schritt 3.10.4.35.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					-	$80 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 3.10.4.35.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 80 x^{2} - 20 x$

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 3.10.4.35.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$

Schritt 3.10.4.35.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							-	$20 x$	-	$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x - 5$

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$

Schritt 3.10.4.35.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$16 x^{2}$	-	$20 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$64 x^{3}$	-	$96 x^{2}$	-	$40 x$	-	$5$
			+	$64 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	-	$40 x$
					+	$80 x^{2}$	+	$20 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$
										$0$

Schritt 3.10.4.35.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 16 x^{2} - 20 x - 5$

Schritt 3.10.4.35.2.6

Schreibe $- 64 x^{3} - 96 x^{2} - 40 x - 5$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{384 ((4 x + 1) (- 16 x^{2} - 20 x - 5))}{x^{7}}$

$\frac{384 (4 x + 1) (- 16 x^{2} - 20 x - 5)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.5

Stelle die Terme um.

$\frac{384 (- 16 x^{2} - 20 x - 5) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$\frac{384 (- (16 x^{2}) - 20 x - 5) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{384 (- (16 x^{2}) - (20 x) - 5) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x^{2}) - (20 x)$ heraus.

$\frac{384 (- (16 x^{2} + 20 x) - 5) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.9

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{384 (- (16 x^{2} + 20 x) - 1 (5)) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x^{2} + 20 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{384 (- (16 x^{2} + 20 x + 5)) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.11

Schreibe $- (16 x^{2} + 20 x + 5)$ als $- 1 (16 x^{2} + 20 x + 5)$ um.

$\frac{384 (- 1 (16 x^{2} + 20 x + 5)) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(384 (16 x^{2} + 20 x + 5)) (4 x + 1)}{x^{7}}$

Schritt 3.10.13

Stelle die Faktoren in $- \frac{(384 (16 x^{2} + 20 x + 5)) (4 x + 1)}{x^{7}}$ um.

$f''' (x) = - \frac{384 (16 x^{2} + 20 x + 5) (4 x + 1)}{x^{7}}$