Analysis Beispiele

$f (x, y) = \sin^{2} (x - 3 y)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x - 3 y)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x - 3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x - 3 y)$ .

$2 \sin (x - 3 y) \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x - 3 y$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Schritt 1.3.3

Da $- 3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + 0)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) \cdot 1$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$ um.

$2 \cos (x - 3 y) \sin (x - 3 y)$

Schritt 1.4.2

Stelle $2 \cos (x - 3 y)$ und $\sin (x - 3 y)$ um.

$\sin (x - 3 y) (2 \cos (x - 3 y))$

Schritt 1.4.3

Stelle $\sin (x - 3 y)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

Schritt 1.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 (x - 3 y))$

Schritt 1.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 x + 2 (- 3 y))$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (x) = \sin (2 x - 6 y)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x - 6 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6 y$ .

$\cos (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 2.2.5

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + 0)$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) \cdot 2$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x - 6 y)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x - 6 y)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x - 6 y)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x - 6 y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6 y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6 y$ .

$2 (- \sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Schritt 3.3.6

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) \cdot 2$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x - 6 y)$