Analysis Beispiele

$f (x) = 6 \log_{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \log_{2} (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{2} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$6 \frac{1}{x \ln (2)}$

Schritt 1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$f' (x) = \frac{6}{x \ln (2)}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{6}{\ln (2)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x \ln (2)}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{\ln (2)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{6}{\ln (2)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{6}{\ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{6}{\ln (2)} (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $\frac{6}{\ln (2)}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{6 x^{- 2}}{\ln (2)}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.2.1

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6}{\ln (2) x^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{6}{\ln (2) x^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2} \ln (2)}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{x^{2} \ln (2)}$ .

$- \frac{6}{x^{2} \ln (2)}$