Analysis Beispiele

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{\frac{t}{2}}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $e^{\frac{t}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $4$ und $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{\frac{t}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.2.9.2.4

Dividiere $2 e^{\frac{t}{2}}$ durch $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ und $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{\frac{t}{2}}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $e^{\frac{t}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.8.2

Dividiere $e^{\frac{t}{2}}$ durch $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $e^{\frac{t}{2}}$ und $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $P (t)$ nach $t$ ist $e^{\frac{t}{2}}$ .

$e^{\frac{t}{2}}$