Analysis Beispiele

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{8 t^{2}} - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 t^{2}}$ als ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $8$ aus $8 t^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.3

Wende die Produktregel auf $8 (t^{2})$ an.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.6

Da $8^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8^{\frac{1}{2}} t$ nach $t$ gleich $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $8^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8^{\frac{1}{2}} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2

Da $8^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8^{\frac{1}{2}}$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + 0$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (t) = 0$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $0$ .

$0$