Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{3 e^{x}}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 e^{x}}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$3 \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 (x e^{x} - e^{x})}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (- e^{x})}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x e^{x} - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x} x - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} x - 3 e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} x$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x) - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $- 3 e^{x}$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.7.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ heraus.

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Schritt 2.7.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ heraus.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 e^{x} (x - 1) x$ heraus.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ heraus.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Schritt 2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 (e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 3 (2 e^{x})}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

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Schritt 2.10.5.2.1

Subtrahiere $3 x e^{x}$ von $3 x e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} + 0 - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.2.2

Addiere $3 x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.5.3

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ um.

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.6

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.7

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.10.7.1

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.7.2

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $- 6 e^{x} x$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.10.7.3

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $6 e^{x}$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.7.4

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x)$ heraus.

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Schritt 2.10.7.5

Faktorisiere $3 e^{x}$ aus $3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$