Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{1 - 7 x^{7}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 7 x^{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{7}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} (7 x^{6})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{3} x^{6}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 (x^{6} x^{3})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{6 + 3}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- 7 x^{7})) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 (x^{2} x^{7})) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{2 + 7}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2.3

Addiere $2$ und $7$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{9}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x^{9} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 21 x^{9}$ und $49 x^{9}$ .

$\frac{3 x^{2} + 28 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{28 x^{9} + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $28 x^{9} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $28 x^{9}$ heraus.

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [28 x^{7} + 3] + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $28 x^{7} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x^{7}$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $28$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + 0) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.6

Addiere $196 x^{6}$ und $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6}) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6} x^{2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6 + 2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{8} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.6.1

Bringe $196$ auf die linke Seite von $x^{8}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 \cdot x^{8} + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + (28 x^{7} + 3) (2 x)) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 \cdot (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - 7 x^{7} + 1$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 u \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 (- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere $- 7 x^{7} + 1$ aus ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ heraus.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $- 7 x^{7} + 1$ aus ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)$ heraus.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.8.2.2

Faktorisiere $- 7 x^{7} + 1$ aus $- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ heraus.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.8.2.3

Faktorisiere $- 7 x^{7} + 1$ aus $(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))$ heraus.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $- 7 x^{7} + 1$ aus ${(- 7 x^{7} + 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 7 x^{7} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.11

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{7}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + 0)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.1

Addiere $- 49 x^{6}$ und $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6})}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $- 49$ mit $- 2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{2} (28 x^{7} + 3) x^{6}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.16

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.16.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 (x^{6} x^{2}) (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.16.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{6 + 2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.16.3

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + (2 (28 x^{7}) + 2 \cdot 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.17.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.4.1.1.1

Multipliziere $x^{7}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.4.1.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x \cdot x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{7}$ .

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Schritt 2.17.4.1.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x^{1} x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{1 + 7}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.1.1.3

Addiere $1$ und $7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{8}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.1.2

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.2

Addiere $196 x^{8}$ und $56 x^{8}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.3

Multipliziere $(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.17.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8} + 6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.17.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.4.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{7} x^{8} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.2

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.4.1.4.1.2.1

Bewege $x^{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 (x^{8} x^{7}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{8 + 7} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.2.3

Addiere $8$ und $7$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $252$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{7} x + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.5

Multipliziere $x^{7}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.4.1.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x \cdot x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{7}$ .

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Schritt 2.17.4.1.4.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x^{1} x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{1 + 7} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.5.3

Addiere $1$ und $7$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $6$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.7

Mutltipliziere $252 x^{8}$ mit $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.1.8

Mutltipliziere $6 x$ mit $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.4.2

Addiere $- 42 x^{8}$ und $252 x^{8}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{8} x^{7} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.6

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.4.1.6.1

Bewege $x^{7}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 (x^{7} x^{8}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{7 + 8} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.6.3

Addiere $7$ und $8$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.7

Mutltipliziere $98$ mit $28$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $98$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.2

Addiere $- 1764 x^{15}$ und $2744 x^{15}$ .

$\frac{980 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.4.3

Addiere $210 x^{8}$ und $294 x^{8}$ .

$\frac{980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.5

Faktorisiere $2 x$ aus $980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.17.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $980 x^{15}$ heraus.

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $504 x^{8}$ heraus.

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.5.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7})$ heraus.

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17.5.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$